Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)

- Chứng minh A chia hết cho 2:
 +) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2

 +) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2

- Chứng minh A chia hết cho 3:
 +) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

 +) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:

 +) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5

 +) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5

Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)

\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7

Ta có: \(a^5-a=a\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮5\)( 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)

=> \(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮6\)

( 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 6) 

mà 6 .5 = 30 ; ( 6;5) = 1 

=> \(a^5-a⋮30\)

=> \(a^{2020}-a^{2016}=a^{2015}\left(a^5-a\right)⋮30\)

=> \(A=\left(a^{2020}-a^{2016}\right)+\left(b^{2020}-b^{2016}\right)+\left(c^{2020}-c^{2016}\right)⋮30\)

\(A=a^{2016}\left(a^4-1\right)+b^{2016}\left(b^4-1\right)+c^{2016}\left(c^4-1\right)\)

Xét: \(a^{2016}\left(a^4-1\right)=a^{2015}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Đặt \(B=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Do \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 6 \(\Rightarrow B⋮6\)

Mặt khác:

\(B=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[a^2-4+5\right]\)

\(=5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Do \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5

\(\Rightarrow B⋮5\Rightarrow B⋮30\) (do 5 và 6 nguyên tố cùng nhau)

Hoàn toàn tương tự ta có \(b^{2016}\left(b^4-1\right)⋮30\) và \(c^{2016}\left(c^4-1\right)⋮30\)

\(\Rightarrow A⋮30\)

Lời giải:

Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì:

$2020^6\equiv 1\pmod 7$

$\Rightarrow (2020^6)^{336}.2020^4\equiv 1^{336}.2020^4\equiv 2020^4\pmod 7$

Có:

$2020\equiv 4\pmod 7$

$\Rightarrow 2020^4\equiv 4^4\equiv 256\equiv 4\pmod 7$

$\Rightarrow A\equiv 2020^4\equiv 4\pmod 7$

Vậy $A$ chia $7$ dư $4$

\(M=\sqrt{\frac{\left(a^2+2020\right)\left(b^2+2020\right)}{c^2+2020}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+bc+ac\right)\left(b^2+ab+bc+ac\right)}{c^2+ab+bc+ac}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(=a+b\) là 1 số hữu tỉ

=> M là 1 số hữu tỉ (đpcm)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^2-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3\left(a+b\right).c\left(a+b+c\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b+c\right)-3\left(a+b\right).c\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3ab-3ab-3bc\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

Ta có:

\(a;b;c>0\)

\(\Rightarrow a+b+c>0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(A=2020\left(1-\dfrac{a}{b}\right)\left(1-\dfrac{b}{c}\right)\left(1-\dfrac{c}{a}\right)-2021\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)^3\)

\(\Rightarrow A=2020.\left(1-1\right)\left(1-1\right)\left(1-1\right)-2021\left(1-1+1\right)^3\)

\(\Rightarrow A=-2021\).

\(Q=\frac{a}{b+2020-a}+\frac{b}{c+2020-b}+\frac{c}{a+2020-c}\)

\(Q=\frac{a}{b+a+b+c-a}+\frac{b}{c+a+b+c-b}+\frac{c}{a+a+b+c-c}\)

\(Q=\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(Q=\frac{a^2}{a\cdot\left(2b+c\right)}+\frac{b^2}{b\cdot\left(2c+a\right)}+\frac{c^2}{c\cdot\left(2a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2020}{3}\)

2020a hay là 2020-a vậy???