Ta có: \(\frac{2x}{3}=\frac{3y}{4}=\frac{4z}{5}=\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}=\frac{x+y+z}{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}}=\frac{49}{\frac{49}{12}}=49.\frac{12}{49}=12\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=12.\frac{3}{2}=18\\y=12.\frac{4}{3}=16\\z=12.\frac{5}{4}=15\end{cases}\)

Vậy x = 18; y = 16; z = 15

Giải:
Ta có: \(\frac{2x}{3}=\frac{3y}{4}=\frac{4z}{5}\Rightarrow\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{\frac{4}{3}}=\frac{z}{\frac{5}{4}}=\frac{x+y+z}{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}}=\frac{49}{\frac{49}{12}}=12\)

+) \(\frac{x}{\frac{3}{2}}=12\Rightarrow x=18\)

+) \(\frac{y}{\frac{4}{3}}=12\Rightarrow y=16\)

+) \(\frac{z}{\frac{5}{4}}=12\Rightarrow z=15\)

Vậy bộ số \(\left(x,y,z\right)\) là \(\left(18,16,15\right)\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có:

x - 1/2 = y - 2/3 = z-3/4 = 2x - 2 + 3y - 6 - z + 3/4 + 9 - 4 = 95 + -5/10 = 10

x-1/2 = 10 => x =21

y-2/3  =10 => y = 32

z-3/4 = 10 => z = 43

Vậy x + y + z = 21 + 32 + 43 = 96

Ta có \(\frac{x+y+3z}{7}=\frac{y+z+3x}{8}=\frac{z+x+3y}{10}=\frac{x+y+3z+y+z+3x+z+x+3y}{7+8+10}\)

                                                                                              \(=\frac{5\left(x+y+z\right)}{25}=\frac{x+y+z}{5}=\frac{5}{x+y+z}\)(1)

Từ (1) => (x + y + z)² = 25 

=> \(\orbr{\begin{cases}x+y+z=5\\x+y+z=-5\end{cases}}\)

Khi x + y + z = 5 => \(\frac{5}{x+y+z}=1\)

=> \(\hept{\begin{cases}z+x+3y=10\\y+z+3x=8\\x+y+3z=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z+2y=10\\x+y+z+2x=8\\x+y+z+2z=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5+2y=10\\5+2x=8\\5+2z=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2,5\\x=1,5\\z=1\end{cases}}\)(tm)

Khi x + y + z = -5 => \(\frac{5}{x+y+z}=-1\)

=> \(\hept{\begin{cases}x+y+3z=-7\\y+z+3x=-8\\z+x+3y=-10\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z+2z=-7\\x+y+z+2x=-8\\x+y+z+2y=-10\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-5+2z=-7\\-5+2x=-8\\-5+2y=-10\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=-1\\x=-1,5\\y=-2,5\end{cases}}\)(tm)

Vậy các cặp (x;y;z) thỏa mãn là (1,5;2,5;1) ; (-1,5;-2,5;-1) 

Ta có:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2\left(x-1\right)}{4}=\frac{3\left(y-2\right)}{9}=\frac{z-3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{2x-2.1}{4}=\frac{3y-3.2}{9}=\frac{z-3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}=\frac{\left(2x-2\right)+\left(3y-6\right)-\left(z-3\right)}{4+9-4}=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{9}=\frac{\left(2x+3y-z\right)+\left(-2+-6+3\right)}{9}=\frac{50+\left(-5\right)}{9}=\frac{45}{9}=5\)\(\Rightarrow\frac{x-1}{2}=5\Rightarrow x=5.2+1=11\)

\(\Rightarrow\frac{y-2}{3}=5\Rightarrow y=5.3+2=17\)

\(\Rightarrow\frac{z-3}{4}=5\Rightarrow z=5.4+3=23\)

Vậy \(x+y-z=11+17-23=28-23=5\)

Ta có: \(\frac{x-1}{2}=\frac{2x-2}{4};\frac{y-2}{3}=\frac{3y-6}{9}\) 

=> \(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}\) và \(2x+3y-z=50\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{4+9-4}\)

\(=\frac{2x+3y-z-\left(2+6-3\right)}{9}=\frac{50-5}{9}=5\)

=> \(x=5.2+1=11\)

\(y=5.3+2=17\)

\(z=5.4+3=23\)

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{y}{3.3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{z}{5.2}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}=k\)

=> x = 6k

y = 9k

z = 10k

Thay vào đẳng thức 3(đề cho) , ta có :

x² + y² + z² = \(\frac{217}{4}\)

=> (6k)² + (9k)² + (10k)² = \(\frac{217}{4}\)

=> 36k² + 81k² + 100k² = \(\frac{217}{4}\)

=> k²(36 + 81 + 100) = \(\frac{217}{4}\)

=> k² = \(\frac{217}{4}:217=\frac{217}{4}.\frac{1}{217}=\frac{1}{4}=0,25\)

Mà x , y , z dương

=> k chỉ có thể nhận giá trị dương vì 6 ; 9 ; 10 > 0

=> k = 0,25

=> x = 6. 0,25 = 1,5

y = 9. 0,25 = 2,25

z = 10. 0,25 = 2,5

=> x + 2y - 2z = 1,5 + 2. 2,25 - 2. 2,5

= 1,5 + 4,5 - 5

= 1

Ta có:\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\Rightarrow\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}=\frac{x^2+y^2+z^2}{36+81+100}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}\cdot36=9\Rightarrow x=3\)(vì x là số dương)

\(\Rightarrow y^2=81\cdot\frac{1}{4}=20,25\Rightarrow y=4,5\text{(vì y là số dương)}\)

\(\Rightarrow z^2=\frac{1}{4}\cdot100=25\Rightarrow z=5\text{(vì z là số dương)}\)

\(\Rightarrow x+2y-2z=3+4,5\cdot2-5\cdot2=12-10=2\)