Bài 1 :

a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)

Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.

b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3) 

Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD

=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)

=> BE = CD (4)

Từ  (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.

Bài 2 :

a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)

b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC 

=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P

Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.

qưertyui9opasdfghjkl

a,Xét tam giác AHB trung tại H có  HM là đường  trung tuyến nên HM =2AB (1)

Trong tam giác ABC có N là trug điểm của AC, O và K là trug điểm của BC nên NK là đường trng bình của tam giác ABC => NK =2AB

Từ (1) và (2), ta có HM=NK

b, Trong tam giác AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến nên HN=AC (3)

Tam giác ABC có M là trung điểm của AB và K là trung điển của BC nên MK là đường trug bình của tam giác ABC => MK=AC (4)

Từ (3) VÀ (4) ,ta có HN = 2MK

Tam giác ABC có M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC =>MN//BC hay MN=KH =>MNKH là hình thang .Từ (a) và (b), MNKH là hình thang cân.

a: Xét ΔABC có AI/AB=AK/AC

nên IK//BC

=>BIKC là hình thang

b: Xét tứ giác AHBM có

I là trung điểm chung của AB và HM

nên AHBM là hình bình hành

mà góc AHB=90 độ

nên AHBM là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác ANHI có

O là trung điểm chung của AH và NI

AH vuông góc với NI

Do đó: ANHI là hình thoi

              b)   Gọi giao điểm của ME,DF và KI là O

Ta thấy:ME đi qua E, mà E là trung điểm của AB=> ME là đường trung tuyến xuất phát từ M 

            DF đi qua F, mà F là trung điểm của AC=> DF là đường trung tuyến xuất phát từ D       

           KI đi qua I, mà I là trung điểm của BC=> KI là đường trung tuyến xuất phát từ K

Mà ME,DF và KI cắt nhau tại O=>O là trọng tâm => ME,DF và KI đồng quy tại O

                                                   Giải

          a) Có EF là đường trung bình của của tam giác ABC 

            =>EF=(1/2)BC=BF

                EF//BC

            =>BI//EI

            => EBFI là hình bình hành 

            Ta có :EF//BI =>EF//HI =>KFHI là hình thang

         mà góc 

a: Xét ΔHAB có 

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB

hay ABNM là hình thang