\(\text{Gọi Nghiệm đó là: r}\Rightarrow f\left(r\right)=r^3+ar^2+br=-2020\Rightarrow r\inƯ\left(2020\right)\Rightarrow r=101\left(\text{vì 100}< r< 200\right)\)

vậy nghiệm đó là: 101

Ta có: a,b nguyên, x nguyên:

\(x^3+ax^2+bx+2020=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+ax^2+bx=-2020\)

\(\Leftrightarrow x^2+ax+b=\frac{-2020}{x}\)

Do a,b,x nguyên => \(\frac{-2020}{x}\)nguyên mà \(x\in\left(100;200\right)\)

\(\Rightarrow\frac{-2020}{x}\in\left(-20,1;-10,2\right)\)

Ta thay lần lượt các giá trị của \(\frac{-2020}{x}\)từ -20 -> -10 sao cho x nguyên

=> x=101 thỏa mãn yêu cầu bài toán

  a)    Ta có:\(x.f\left(x+1\right)=\left(x+2\right).f\left(x\right)\)

   +)Thay \(x=0\) ta có:\(2.f\left(0\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(0\right)=0\)

     Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=0 (1)

   +)Thay \(x=-2\) ta có:\(-2.f\left(-1\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(-1\right)=0\)

     Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=-1 (2)

Từ (1),(2)

    \(\implies\) đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm

b)Ta có:\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

+)Với x=0 \(\implies\) \(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c:2007\left(1\right)\)

+)Với x=1 \(\implies\) \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c:2007\left(2\right)\)

+)Với x=-1 \(\implies\) \(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2-b.1+c=a-b+c:2007\left(3\right)\)

Từ (2);(3) cộng vế với vế ta được:

                  \(\implies\) \(f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c\)

                                                           \(=2a+2c\)

                                                           \(=2.\left(a+c\right):2007\)

    mà \(\left(2,2007\right)=1\)\(\implies\) \(a+c:2007\) \(\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\) \(\implies\) \(a:2007\) \(\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right),\left(2\right)\) \(\implies\) \(b:2007\) \(\left(6\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(5\right),\left(6\right)\) \(\implies\) các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007\(\left(đpcm\right)\)

Ko biết là bạn có cần nữa ko.

Nhưng mình vẫn trả lời cho những bạn khác đang cần.

Do P(0) và P(1) lẻ nên ta có:

P(0)=d=> d là số lẻ

P(1)=a+b+c+d => a+b+c+d là số lẻ

Giả sử y là nghiệm nguyên của P(x). Khi đó:

P(y)=ay^3+by^2+cy+d=0

     =>ay^3+by^2+cy=-d

Mà d là số lẻ

=>y là số lẻ

Lại có: P(y)-P(1)=(ay^3+by^2+cy+d)-(a+b+c+d)

                         =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)+(d-d)

                         =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)

Do y là số lẻ=>P(y)-P(1) là số chẵn(1)

Mà P(y)-P(1)= 0-a+b+c+d

                   =-a-b-c-d

Do a+b+c+d lẻ

=>-a-b-c-d lẻ 

Hay P(y)-P(1) là số lẻ(2)

Vì (1) và (2) mâu thuẫn

=> Giả sử sai

Hay f(x) ko thể có nghiệm là các số nguyên(ĐCCM)

 Chỗ: mà d là số lẻ bổ sung thêm cho mình: nên -d là số lẻ nha

hihi