Ta có:

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f\left(x\right)=0x^3+0x^2+0x+0\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\left(theo.pp.đa.thức.đồng.nhất\right)\\ Chúc.bạn.học.Toán.tốt.\)

\(f\left(x\right)=0\) có phải f(0) đâu bạn

Làm hơi dài dòng tẹo nhé
f(0)=d là số lẻ
f(1)=a+b+c+d là số lẻ => a+b+c là số chẵn
Giả sử nghiệm x chẵn => f(x) lẻ khác 0 => loại
Giả sử nghiệm x lẻ
=> Tính chẵn lẻ của ax³ phụ thuộc vào a
     Tính chẵn lẻ của bx² phụ thuộc vào b
     Tính chẵn lẻ của cx phụ thuộc vào c
     d là số lẻ 
Mà a+b+c là số chẵn=> ax³+bx²+cx là số chẵn => ax³+bx²+cx+d là số lẻ khác 0
Vậy f(x) không thể có nghiệm nguyên 
Hơi khó hỉu chút nhé ahihi
 

Sai rồi bạn ơi

f(0) ⋮ 7 => e ⋮ 7

=> g(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx ⋮ 7 ∀ x nguyên

g(1) = a + b + c + d ⋮ 7

g(-1) = a - b + c - d ⋮ 7

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b+c+d\right)+\left(a-b+c-d\right)⋮7\\\left(a+b+c+d\right)-\left(a-b+c-d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(a+c\right)⋮7\\2\left(b+d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)

Mà 2 không chia hết cho 7 => \(\left\{{}\begin{matrix}a+c⋮7\\b+d⋮7\end{matrix}\right.\) (1)

g(2) = 16a + 8b + 4c + 2d ⋮ 7

g(-2) = 16a - 8b + 4c - 2d ⋮ 7

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(16a+8b+4c+2d\right)+\left(16a-8b+4c-2d\right)⋮7\\\left(16a+8b+4c+2d\right)-\left(16a-8b+4c-2d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(4a+c\right)⋮7\\4\left(4b+d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)

Mà 8 và 4 không chia hết cho 7

=> \(\left\{{}\begin{matrix}4a+c⋮7\\4b+d⋮7\end{matrix}\right.\) (2)

Từ (1) và (2)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(4a+c\right)-\left(a+c\right)⋮7\\\left(4b+d\right)-\left(b+d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}3a⋮7\\3b⋮7\end{matrix}\right.\)

Mà 3 không chia hết cho 7 => \(\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+c⋮7\\b+d⋮7\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}c⋮7\\d⋮7\end{matrix}\right.\)

Vậy bài toán đã được chứng minh

Tham khảo:

F(0)=d⇒d⋮5F(0)=d⇒d⋮5

F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5

F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5

⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5

⇒2b⋮5⇒b⋮5⇒2b⋮5⇒b⋮5

⇒a+c⋮5