a: Xét ΔAMD và ΔCMB có

góc AMD=góc CMB

MA=MC

góc MAD=góc MCB

=>ΔAMD=ΔCMB

b: Xét ΔCEA có BM//AE

nên BM/AE=CM/CA=1/2

=>AE=2BM

c: Xét tứ giác ADBE có

AD//BE

AE//BD

=>ADBE là hbh

=>AB cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>E,N,D thẳng hàng

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC
=>ΔABM=ΔACM

b: góc NMC=góc ABC

=>góc NMC=góc NCM

=>ΔNMC cân tại N

c: Xét ΔCAB có

M là trung điểm của CB

MN//AB

=>N là trung điểm của AC

(Tự vẽ hình)

Do BM//NI, MN//BI nên MNIB là hình bình hành

=> BM=IN (2 cạnh đối) (1)

Trong tam giác ABC, do M trung điểm AB, MN//BC => N trung điểm AC (2)

Do MA=MB,NA=NC nên MN là đường trung bình tam giác ABC => MN=1/2 BC (4)

CMTT, ta có I trung điểm BC (3)

Vậy ta có tất cả đpcm

Hình: 

Tự vẽ hình.

a) Vì AD // BC nên \(\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\) (so le trong) (1)

AB // CD \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\) (so le trog) (2)

Xét \(\Delta ABC;\Delta CDA:\)

_ (1)

_ (2)

_ AC chung

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CDA\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow BC=DA\)

\(\Rightarrow BM+CM=AN+DN\)

mà \(BM=CM;AN=DN\)

\(\Rightarrow CM=AN\)

b) Xét \(\Delta OAD;\Delta OCB:\)

\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\) (so le trog)

\(AD=CB\left(a\right)\)

\(\widehat{ADO}=\widehat{CBO}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\Delta OAD=\Delta OCB\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OA=OC;OD=OB\) (2 cặp cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta NDO;\Delta MBO:\)

\(ND=MB\) (suy từ câu a)

\(\widehat{NDO}=\widehat{MBO}\) (so le trog)

\(DO=BO\) (câu b)

\(\Rightarrow\Delta NDO=\Delta MBO\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NOD}=\widehat{MOB}\)

mà \(\widehat{NOD}+\widehat{BON}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{MOB}+\widehat{BON}=180^o\)

\(\Rightarrow M,O,N\) thẳng hàng.

Bổ sung thêm ở câu a) nhé!

... \(\Rightarrow CM=AN\)

Xét \(\Delta AMN;\Delta CNM:\)

\(AN=CM\) (c/m trên)

\(\widehat{ANM}=\widehat{CMN}\) (so le trog)

MN chung

\(\Rightarrow\Delta AMN=\Delta CNM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AM=CN\rightarrowđpcm\).

a: Xét ΔAMN có

Ax vừa là đường cao, vừa là phân giác

=>ΔAMN cân tại A

b: BE//AC

=>góc BEM=góc ANE

=>góc BEM=góc BME

=>BE=BM

Xét ΔDEB và ΔDNC có

góc DBE=góc DCN

DB=DC

góc BDE=góc NDC

=>ΔDEB=ΔDNC

=>BE=NC

=>BE=CN

câu a CHỨNG Minh AB = DC CHỨ sao AB = BC ĐC

A) XÉT \(\Delta ABC\)VÀ \(\Delta CDA\)CÓ

\(\widehat{ACB}=\widehat{CAD}\)( VÌ AD // BC , HAI GÓC NÀY Ở VỊ TRÍ SO LE TRONG )

AC LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\)( VÌ AB // DC , HAI GÓC NÀY Ở VỊ TRÍ SO LE TRONG )

=> \(\Delta ABC=\Delta CDA\left(g-c-g\right)\)

=> AD = BC (HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )

=> AB = DC ( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )

TA CÓ M LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC 

\(\Rightarrow BM=CM=\frac{BC}{2}\left(1\right)\)

TA CÓ N LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AD 

\(\Rightarrow AN=DN=\frac{AD}{2}\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2)

\(BM=CM=\frac{BC}{2}\)

\(AN=DN=\frac{AD}{2}\)

MÀ AD = BC ( CMT)

=>  \(BM=CM=AN=DN\)

XÉT \(\Delta BAM\)VÀ \(\Delta DCN\)CÓ 

\(BA=DC\)(VÌ \(\Delta ABC=\Delta CDA\))

\(\widehat{ABM}=\widehat{CDN}\)(VÌ  \(\Delta ABC=\Delta CDA\))

\(BM=DN\left(cmt\right)\)

=>\(\Delta BAM=\Delta DCN\left(c-g-c\right)\)

=> AM = CN (HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )

c) XÉT TỨ GIÁC ABCD

ta có \(AD=BC\left(cmt\right);AB=CD\left(cmt\right)\)

=> TỨ GIÁC ABCD LÀ HÌNH THOI

=> CÁC ĐƯỜNG CHÉO CẮT NHAU TẠI TRUNG ĐIỂM CỦA NÓ

=> \(OA=OC;OB=OD\)

mượn hình của Lê Trí Tiên  làm tiếp câu (d)

vì M là trung điểm AD và O là trung điểm của AC => ON là đường trung bình tam giác ACD

=> ON //DC (1)

chứng minh tương tự ta có: OM là đường trung bình tam giác ACB

=> OM // AB mà AB // CD => OM // DC (2)

từ (1) (2) => M,O,N thằng hàng (đpcm)