Từ D kẻ DH // AC 

Do DH // AC : \(\Rightarrow\) \(\widehat{D_1}=\widehat{A_2}=60^0\)

Vì AD là đường phân giác \(\widehat{BAC}\):

\(\Rightarrow\)\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=60^0\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{D_1}=\widehat{A_1}=60^0\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AH\text{D}\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\)\(AH=H\text{D}=A\text{D}\)

Do DH //  AH :

\(\Rightarrow\)\(\frac{BH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)

       \(\frac{AB-AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)

 \(\frac{AB}{AB}-\frac{AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)

\(1-\frac{AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)

\(1=\frac{H\text{D}}{AC}+\frac{AH}{AB}\)

\(1=\frac{A\text{D}}{AC}+\frac{A\text{D}}{AB}\) ( VÌ AH = HD = AD )

\(1=A\text{D}.\left(\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}\right)\)

\(\frac{1}{A\text{D}}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{A\text{D}}\)( ĐPCM )

ta có AD là phân giác góc BAC thì \(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

hình vẽ ko đc đẹp thông cảm

ta kẻ \(DE\\ AB;E\in AC\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{DE}{AB}\)(hệ quả của đlý Talets nhé)

\(DE\\ AB\Rightarrow\widehat{AED}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-60^0=120^0\)

TỪ ĐÓ TA TÍNH ĐC GÓC EAD=30⁰ \(\Rightarrow\Delta AED\)cân tại E

\(\Rightarrow AE=ED\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{AE}{AB}\)(thay vào cái tỉ số ở trên nhé)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{AC-AE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=1-\frac{AE}{AC}\)(1)

ta kẻ:\(EH\perp AD\left(H\in AD\right)\)từ đó EH sẽ là đường cao của tam giác AED cân tại E

\(\Rightarrow AH=HE\)(TC)

\(\Delta AHE\) VUÔNG TẠI H,theo định lý Pytago TA CÓ:

\(AH^2+HE^2=AE^2\)

TA có tính chất sau:trong tam giác vuông có 1 góc bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền

\(\Rightarrow AE=2HE\)(áp dụng vào tam giác AHE)

\(\Rightarrow AH^2+HE^2=4HE^2\)

\(\Rightarrow AH^2=3HE^2\)

MÀ  \(AH+HE=AD;AH=AE\Rightarrow2AH=AD\Rightarrow4AH^2=AD^2\)

\(\Rightarrow4.AH^2=12HE^2\Rightarrow AD^2=3.\left(4.HE^2\right)\)

\(\Rightarrow AD^2=3.AE^2\)(DO HE=2AE)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{3}AE\)(do cạnh của tam giác luôn lớn hơn 0)

ta thày vào (1),có:​

\(\frac{AE}{AB}=1-\frac{AE}{AC}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}AE}{AB}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}AE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\sqrt{3}-\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AD.\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AD}\)(ĐPCM)

Đặt AB=b, AC=a,AD=d vậy ta CM : 1/c+1/b=\(\sqrt{2}\)/d

Từ D hạ DH vuông AC tại H và DM vuông AB tại M, dễ dàng CM được AHDM là hình vuông. => HD=DM=d.sin45 = \(\frac{d}{\sqrt{2}}\) 

Ta có S(ABC) = S(ACD) + S(ABD) 

<=> b.c/2 = HD.b/2 + DM.c/2  <=> bc = \(\frac{bd+cd}{\sqrt{2}}\)<=> \(\sqrt{2}\)bc = bd + cd

Chia 2 vế cho b.c.d ta có pt cần CM

đã hok lớp 6 rồi