a: Xét ΔADB vuôg tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc bAD chung

Do đó: ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AD*AC=AB*AE

Xét ΔABC có BD,CE là các đường cao

và BD cắt CE tại H

nên H là trực tâm

=>AH vuông góc với BC

b: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BM//CH

Xét(O) có

ΔACM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại C

=>CM//BH

Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

Do đó: BHCM là hình bình hành

c: Xét (O) có

ΔAKM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔAKM vuông tại K

=>KM//BC

góc CHK=góc AHE=góc ABC=1/2sđcung AC

gócCKH=góc AKC=1/2sđcung AC

=>góc CHK=góc CKH

=>CH=CK=BM

Xét tứ giác BCMK có

MK//BC

MB=KC

Do đó: BCMK là hình thang cân

a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD//CH

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của HD

Xét ΔDAH có DI/DH=DO/DA

nen Io//AH và IO=AH/2

=>AH=2OI

a) Xét tam giác AEC và tam giác ADB

có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\)

\(\widehat{EAC}=\widehat{DAB}\)( đối đỉnh)

=> \(\Delta AEC~\Delta ADB\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)

b) Xét tam giác HCB có hai đường cao CD và BE cắt nhau tại A 

=> A là trực tâm tam giác ACB

=> HA vuông BC

=> AF vuông BC

Xét tứ giác BFEH có:

\(\widehat{BFH}=\widehat{HEB}=90^o\)

=> BFEH nội tiếp

c) Ta có: \(\widehat{EOC}=2\widehat{EBC}\)( góc ở tâm có độ lớn gấp 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Xét tứ giác ADBF có: \(\widehat{ADB}+\widehat{AFB}=90^o+90^o=180^o\)

=> ADBF nội tiếp 

=> \(\widehat{ABF}=\widehat{ADF}\)( cùng chắn cung AF) hay \(\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)

Mặt khác \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)( cùng chắn cung EC)

=> \(\widehat{EOC}=2.\widehat{EBC}=\widehat{CDF}+\widehat{EDC}=\widehat{EDF}\)

=> \(\widehat{FOE}+\widehat{FDE}=\widehat{FOE}+\widehat{EOC}=180^o\)( hai góc bù nhau)

=> Tứ giác DEOF nội tiếp