Cho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB (IA<IB) . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax, By. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó. Đường thẳng qua M và vuông góc với IM cắt Ax, By theo thứ tự tại D, E.

1. Chứng minh rằng AD.BE luôn không đổi khi M di chuyển trên cung AB

2. Tìm vị trí của M để hình thang ADEB có diện tích nhỏ nhất 

Cho nửa đường tròn đường kính $BC$, bán kính $R$ và điểm $A$ nằm trên nửa đường tròn ($A$ khác $B$ và $C$). Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc với $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$, nửa đường tròn đường kính $HC$ cắt $AC$ tại $F$.

a) Tứ giác $AFHE$ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh $BEFC$ là tứ giác nội tiếp.

c) Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tứ giác $AFHE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.

Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A và B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại E.
1. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
2. Chứng minh AI . BK = AC.CB.
3. Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB. 
4. Cho các điểm A; B; I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất.

Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là 1 điểm nằm giữa hai điểm A và B. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn , vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nữa đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cất IK tại E.

1.C/m tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.

2.C/m AI.BK=AC.CB

3.C/m điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB.

4.Cho các điểm A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất.

Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là 1 điểm nằm giữa A và B. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ 2 tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I ( với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại E.

a) C/m tứ giác CEKB nội tiếp

b) C/m AI*BK=AC*CB

c) C/m điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB

d) Cho các điểm A,B,I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho \(S_{ABKI}\)lớn nhất

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E. a) AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N. Tử giác CMON là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng MO.DM + ON.NE không đổi c) AN cắt CO tại điểm H. Điểm H di chuyển trên đường nào khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).