Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
1.
Vì $BC\equiv d$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $OH\perp BC$
$\Rightarrow \triangle BHO$ vuông tại $H$ và tam giác $CHO$ vuông tại $H$
Tam giác $HBO$ vuông có đường cao $HM$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có $HO^2=OM.OB(1)$
Hoàn toàn tương tự, với tam giác vuông $CHO$ có đường cao $HN$ có: $HO^2=ON.OC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow OM.OB=ON.OC$ (đpcm)
------------
Vì $OM.OB=HO^2=OA^2\Rightarrow \frac{OM}{OA}=\frac{OA}{OB}$
$\Rightarrow \triangle MOA\sim \triangle AOB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{ABO}=\widehat{AOB}=\widehat{AOM}$ (do $AB=AO$)
$\Rightarrow \triangle AMO$ cân tại $M$
$\Rightarrow AM=OM$
Hoàn toàn tương tự: $NA=NO$
Do đó $MN$ là đường trung trực của $AO$ nên $MN$ luôn đi qua trung điểm của $AO$. $A,O$ cố định nên trung điểm của nó $I$ cũng cố định. Vậy $MN$ luôn đi qua điểm cố định (đpcm)
2.
Vì $OM.OB=ON.OC$ nên $\triangle OMN\sim \triangle OCB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{OMN}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{OMI}=\widehat{OCH}$
$\Rightarrow \triangle OMI\sim \triangle OCH$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{2OH}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2OM=OC$
$\Rightarrow OB.OC=2OM.OB=2.OH^2=2R^2$ (đpcm)
a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AE và BC.
Ta có : \(EB^2=\left(BK-EK\right)^2;EC^2=\left(KC+EK\right)^2\)
\(\Rightarrow EB^2+EC^2=2\left(BK^2+EK^2\right)=2\left(BO^2-OK^2+OE^2-OK^2\right)\)
\(=2\left(R^2+r^2\right)-4OK^2\)
\(AE^2=4AI^2=4\left(r^2-OI^2\right)\)
\(\Rightarrow EB^2+EC^2+EA^2=2R^2+6r^2-4\left(OI^2+OK^2\right)\)
Mà OIEK là hình chữ nhật nên \(OI^2+OK^2=OE^2=r^2\)
\(\Rightarrow EB^2+EC^2+EA^2=2R^2+2r^2\) không đổi.
b) Giả sử EO giao với AK tại J.
Vì IOEK là hình chữ nhật nên OK song song và bằng EI. Vậy nên OK song song và bằng một nửa AE.
Do đó \(\frac{JE}{JO}=\frac{AJ}{JK}=\frac{AE}{OK}=2\)
Vì OE cố định nên J cố định; Vì AK là trung tuyến của tam giác ABC nên J là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra J thuộc MC.
Vậy MC đi qua J cố định.
c) Vì AK = 3/2AJ nên H trùng K.
Do đó OH vuông góc BC. Suy ra H thuộc đường tròn đường kính OE.