1. Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow\) d' nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x+2\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+3y-4=0\)

H là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+3y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{5}\\y=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{4}{5};\dfrac{8}{5}\right)\)

2.

Do A' đối xứng A qua d nên H là trung điểm AA'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=\dfrac{2}{5}\\y_{A'}=2y_H-y_A=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A'\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

3.

Gọi B là giao điểm d và \(\Delta\) thì tọa độ B thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\dfrac{3}{7};\dfrac{19}{7}\right)\)

Lấy điểm \(C\left(0;4\right)\) thuộc d

Phương trình đường thẳng \(d_1\) qua C và vuông góc \(\Delta\) có dạng:

\(2\left(x-0\right)-\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

Gọi D là giao điểm \(\Delta\) và \(d_1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{14}{5}\right)\)

Gọi D' là điểm đối xứng C qua \(\Delta\Rightarrow\) D là trung điểm CD'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{D'}=2x_D-x_C=-\dfrac{6}{5}\\y_{D'}=2y_D-y_C=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BD'}=\left(-\dfrac{27}{35};-\dfrac{39}{35}\right)=-\dfrac{3}{35}\left(9;13\right)\)

Phương trình đường thẳng đối xứng d qua denta (nhận \(\left(9;13\right)\) là 1 vtcp và đi qua D':

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{6}{5}+9t\\y=\dfrac{8}{5}+13t\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

Gọi M là giao điểm \(d_1;d_2\Rightarrow\) tọa độ M là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x-3y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(0;1\right)\)

Gọi \(A\left(1;0\right)\) là 1 điểm thuộc \(d_1\)

\(d_3\) đối xứng \(d_2\) qua \(d_1\Leftrightarrow d_1\) là phân giác góc tạo bởi \(d_2;d_3\)

\(\Rightarrow d_3\) qua M và \(d\left(A;d_3\right)=d\left(A;d_2\right)\)

Gọi pt \(d_3\) có dạng \(a\left(x-0\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by-b=0\)

Theo công thức khoảng cách:

\(\frac{\left|a.1+b.0-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|1-3.0+3\right|}{\sqrt{1+3^2}}\Leftrightarrow\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow5\left(a-b\right)^2=8\left(a^2+b^2\right)=3a^2+10ab+3b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3b\right)\left(3a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-3b\\b=-3a\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}-3bx+by-b=0\\ax-3ay+3a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y+1=0\\x-3y+3=0\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

a/ Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d

\(\Rightarrow d'\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)

H là giao điểm của d và d' nên tọa độ H là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-2=0\\2x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(0;1\right)\)

b/ M' đối xứng M qua d \(\Leftrightarrow H\) là trung điểm \(MM'\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_H-x_M\\y_{M'}=2y_H-y_M\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(-2;-3\right)\)

c/ d' đối xứng d qua M \(\Rightarrow\) phương trình d' có dạng: \(x+2y+c=0\) với \(c\ne-2\)

Ta có: \(d\left(M;d\right)=d\left(M;d'\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|2+2.5-2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\left|2+2.5+c\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)

\(\Rightarrow\left|c+12\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\left(l\right)\\c=-22\end{matrix}\right.\)

Phương trình d': \(x+2y-22=0\)

a) gọi d' ⊥ d và d' qua A

=> Pt đường thẳng d' : 2x +y +c =0

Vì A (4;1) ∈ d' => tọa độ A thỏa mãn :

\(2.4+1.1+c=0\)

=> c =-9

=> d : 2x +y -9 =0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống d

=> tọa độ H là giao điểm của d và d' và là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+4=0\\2x+y-9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{-14}{5}\\y=\frac{-17}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d là H \(\left(\frac{-14}{5};\frac{-17}{5}\right)\)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x_A+x_B}{2}=x_H\\\frac{y_A+y_B}{2}=y_H\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_H-x_A=2.\frac{-14}{5}-4=\frac{-48}{5}\\y_B=2y_H-y_A=2.\frac{-17}{5}-1=\frac{-39}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy B\(\left(\frac{-48}{5};\frac{-39}{5}\right)\)

Khoảng cách M đến d là: h=I1-2.4+2I/căn 5 =5/can5=căn5

M"(a,b) phải thuộc đường thẳng (d1) vuông góc với d:x-2y+2=0

d1: đi qua M' => d1: 2(x-1)+(y-4) =2x+y-6=0

=> 2a+b-6=0=> b=6-2a

Khoảng cách M" đến d là

h=I1-2.4+2I/căn 5 =5/can5=căn5

Khoảng cách từ M' đến d =căn5

=> Ia-2(6-2a)+2I =5 => I10+5aI=5

a=-1 hoặc a=3

M' khác phía với M qua d

=> M(3,0)

4 câu giống nhau, mình làm câu a, bạn tự làm 3 câu còn lại hoàn toàn tương tự:

a/ Đường thẳng d nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(2\left(x-4\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+y-9=0\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d \(\Rightarrow\) H là giao điểm của d và d'

Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+4=0\\2x+y-9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)\)

Gọi M' là điểm đối xứng với M qua d \(\Rightarrow\) H là trung điểm MM'

Tọa độ M': \(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_H-x_M=\frac{8}{5}\\y_{M'}=2y_H-y_M=\frac{29}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(\frac{8}{5};\frac{29}{5}\right)\)

mình cảm ơn nhiều ạ

Đáp án C

+phương trình ∆ đi qua M (8; 2) và vuông góc với d  là:

3 (x-8) +2(y-2) =0 hay 3x+2y -28= 0.

+ Gọi  H = d ∩ ∆ ⇒ H ( 6 ; 5 )

+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra

Vậy M’( 4;8) .

2/ Gọi \(M\left(a;0\right)\)

\(\Rightarrow\) khoảng cách từ M tới \(d\) là:

\(\frac{\left|a.1+2.0-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow\left|a-3\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=8\\a=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}M\left(8;0\right)\\M\left(-2;0\right)\end{matrix}\right.\)

3/Gọi \(A\left(a;0\right);B\left(0;b\right)\)

Do \(OAB\) vuông cân tại O

\(\Rightarrow OA=OB\Rightarrow\left|x_A\right|=\left|y_B\right|\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\Rightarrow a=\pm b\)

TH1: \(a=b\Rightarrow A\left(a;0\right);B\left(0;a\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-a;a\right)\)

\(\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;1\right)\) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) phương trình đường thẳng AB:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x+y-7=0\)

TH2: \(a=-b\Rightarrow A\left(a;0\right);B\left(0;-a\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(a;a\right)\)

\(\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)\) là một vtpt

\(\Rightarrow\) phương trình AB:

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-y+3=0\)

//Đường thẳng AB chính là đường thẳng d

1. \(\left(d\right):x+2y-4=0\)

\(\Leftrightarrow2y=4-x\)

\(\Leftrightarrow y=2-\frac{x}{2}\)

\(\left(d'\right):x-3y+6=0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x+6}{3}\)\(=2+\frac{x}{3}\)

Giả sử (d) và (d') cắt nhau:

\(\Rightarrow2+\frac{x}{3}-2+\frac{x}{2}=0\)

\(\Rightarrow5x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}\)\(\Rightarrow y=\frac{12}{5}\)

Vậy (d) cắt (d').