a: góc OBA+góc OCA=90+90=180 độ

=>OBAC nội tiếp

b: Xét ΔACE và ΔAFC có

góc ACE=góc AFC

góc CAE chung

=>ΔACE đồng dạng với ΔAFC

=>AC/AF=AE/AC

=>AC^2=AF*AE

a: Xét tứ giác OIBA có \(\widehat{OIA}=\widehat{OBA}=90^0\)

nên OIBA là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔACD và ΔAEC có 

\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\)

\(\widehat{DAC}\) chung

Do đó: ΔACD\(\sim\)ΔAEC
SUy ra: AC/AE=AD/AC
hay \(AC^2=AE\cdot AD\left(1\right)\)

c: Xét (O) có

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
mà OB=OC

nên OA là đường trung trực của BC

Xét ΔOCA vuông tại C có CK là đường cao

nên \(AK\cdot AO=AC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AK\cdot AO=AD\cdot AE\)

hay AK/AE=AD/AO

Xét ΔAKD và ΔAEO có

AK/AE=AD/AO

góc KAD chung

DO đó: ΔAKD\(\sim\)ΔAEO

Suy ra: \(\widehat{AKD}=\widehat{AEO}\)

a: ΔODE cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc DE

góc OIA=góc OBA=90 độ

=>OIBA nội tiếp

b: Xét (O) có

AC,AB là tiếp tuyến

=>AC=AB

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>BC vuông góc OA tại H

=>AH*AO=AB^2

Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB/AD=AE/AB

=>AB^2=AD*AE=AH*AO

Ta có: tỨ giác OCEA nội tiếp

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OEA}\)(1)

Vì OC=OB 

=> Tam giác OBC cân 

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)(2)

Tứ giác ODAB nội tiếp

=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\)( cùng bù với góc OBA) (3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OEA}\)

=> Tam giác ODE cân có OA là đươngcao

=> OA là đường trung tuyến

=> A là trung điểm của DE

a: ΔOED cân tại O 

mà OF là trung tuyến

nên OF vuông góc ED

=>OF vuông góc EA

góc OFA=góc OBA=góc OCA=90 độ

=>O,F,C,A,B cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét ΔICD và ΔIBC có

góc ICD=góc IBC

góc CID chung

=>ΔICD đồng dạng với ΔIBC

=>IC/IB=ID/IC

=>IC^2=IB*ID

Xét ΔIAD và ΔIBA có

góc IDA=góc IAB

góc AID chung

=>ΔIAD đồng dạng với ΔIBA

=>IA/IB=ID/IA

=>IA^2=IB*ID

=>IA=IC

=>I là trung điểm của AC

a) Vì AB,AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A có AO là phân giác \(\angle BAC\)

\(\Rightarrow OA\bot BC\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABD=\angle AEB\\\angle EABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

b) tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=AH.AO\Rightarrow AH.AO=AD.AE\Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AEO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}\\\angle EAOchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta AEO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AHD=\angle AEO\Rightarrow DEOH\) nội tiếp

c) Ta có: \(\angle BHE=90-\angle OHE=90-\angle ODE\) (DEOH nội tiếp)

\(=90-\dfrac{180-\angle DOE}{2}=\dfrac{1}{2}\angle DOE=\dfrac{1}{2}\angle DHE\) (DEOH nội tiếp)

\(\Rightarrow HB\) là phân giác \(\angle DHE\Rightarrow\dfrac{ID}{IE}=\dfrac{DH}{HE}\)

Vì HB là phân giác \(\angle DHE\) và \(HA\bot HB\Rightarrow HA\) là phân giác ngoài \(\angle DHE\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DH}{HE}=\dfrac{ID}{IE}\Rightarrow AD.IE=ID.AE\)

a) Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AB=AC(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

hay OA\(\perp\)BC tại H

Xét ΔADB và ΔABE có 

\(\widehat{BAD}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BD}\right)\)

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔABE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=AD\cdot AE\)