1. BD^2- DK^2 = BA^2 - AK^2 = 4R^2 - R^2 / 4 
2.Gọi N là trung điểm AM 
=> ON là đường trung bình trong tam giác ABM 
=> ON // BM và ON = 1/2*BM 
BM cắt OC tại L ,ta có M là trung điểm NC và ML // ON 
=> ML là đường trung bình của tam giác CON 
=> L là trung điểm OC

Ai giup minh voi nhe

Bạn tự vẽ hình

1. Gọi \(K\) là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Xét hai tam giác \(\Delta KOD\)  và \(\Delta OCH\) có \(OK=CO=R\), \(\angle KOD=\angle OCH\) (so le trong) và \(OD=CH\) (giả thiết). Suy ra hai tam giác \(\Delta KOD\)  và \(\Delta OCH\)

bằng nhau (c.g.c). Do đó \(\angle KDO=90^{\circ}\to D\) nằm trên đường tròn đường kính OK. 

Khi C trùng A thì D trùng với O và khi C trùng với B thì D trùng với O. Do đó tập hợp D sẽ là toàn bộ đường tròn đường kính OK.

2.  Kéo dài tia DC cắt (O) ở điểm thứ hai T. Do tứ giác ACTB nội tiếp nên góc TBA = góc DCA = 60 độ. Vậy T là điểm cố định. Do tam giác ACD đều và M là trung điểm CD nên AM vuông góc với CD. Suy ra M nhìn đoạn AT dưới 1 góc vuông. Vậy M nằm trên đường tròn đường kính AT. 

Vì C chỉ chạy trên nửa đường tròn, khi C trùng A thì M trùng A và khi C trùng với B thì M trùng với T. Vậy M chạy trên nửa đường tròn đường kính AT, trong nửa mặt phẳng không chứa điểm B.

Chỉ vậy thôi.

a. Ta có: \(\widehat{ADB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => \(\widehat{ADE}=90^o\)

Lại có: \(CH\perp AB\)tại H (gt)  mà E \(\in CH\)(do  E là giao điểm của BD và CH (gt)) => \(\widehat{EHA}=90^o\) 

Xét tứ giác ADEH có: \(\widehat{ADE}+\widehat{EHA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADEH nội tiếp (DHNB) => đpcm

b.

Ta có: \(\widehat{ACB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) => \(\Delta ABC\)vuông tại C

=> \(S\Delta ABC=\frac{1}{2}AC\times BC=\frac{1}{2}CH\times AB\)=> CH = \(\frac{AC\times BC}{AB}\)

=> \(AC\times AH+CB\times CH=AC\times AH+CB\times\frac{AC\times BC}{AB}\)= \(AC\times(AH+\frac{BC^2}{AB})=AC\times\frac{(AH\times AB+BC^2)}{AB}\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\)vuông tại C với đường cao CH ta được: AH \(\times AB=AC^2\)(2)

Áp dụng định lý pitago trong \(\Delta ABC\)vuông tại C ta được: \(AC^2+BC^2=AB^2\)(3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta được : \(AC\times AH+CB\times CH=AB\times AC\)(ĐPCM)

c. Gọi K là điểm chính giữa cung AB (K nằm cùng phía với C so với bờ AB) => K là điểm cố định và \(KO\perp AB\)tại O => KO // CH => \(\widehat{KOC}=\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(So le trong)

Nối K với M 

Xét \(\Delta KOM\)và \(\Delta OCH\)có:

+ KO = OC = R

+ \(\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(cmt)

+ OM = CH (gt) 

=> \(\Delta KOM=\Delta OCH\)(c.g.c) => \(\widehat{KMO}=\widehat{OHC}=90^o\Rightarrow\Delta KOM\)vuông tại M => M \(\in(I,\frac{OK}{2})\)cố định (trong đó I là trung điểm của OK)

Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\BC=CD\end{cases}\)=> AC là đường trung trực của BD

\(\Rightarrow AB=AD\) mà AB không đổi (gt) => AD không đổi mà A cố định

=> D di chuyển trên đường tròn tâm A , bán kính AD