Do AB là đường kính và D thuộc đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\) hay tam giác ADB vuông tại D

Xét tam với vuông ADB với đường cao DH, áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AD^2=AH.AB\) 

a, Học sinh tự chứng minh

b, DADB vuông tại D, có đường cao DH Þ  A D 2  = AH.AB

c,  E A C ^ = E D C ^ = 1 2 s đ E C ⏜ ;  E A C ^ = K H C ^  (Tứ giác AKCH nội tiếp)

=> E D C ^ = K H C ^ => DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) => Đpcm

a: Xét tứ giác AHCK có \(\widehat{AHC}+\widehat{AKC}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHCK là tứ giác nội tiếp

b: ta có: AHCK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{CHK}=\widehat{CAK}=\widehat{CAE}\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

\(\widehat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\widehat{CAE}=\widehat{CDE}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{CHK}=\widehat{CDE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HK//DE

Giải thích các bước giải:

a.Ta có AK⊥CK,AH⊥CHAK⊥CK,AH⊥CH

→ˆAKC+ˆAHC=90o+90o=180o→AKC^+AHC^=90o+90o=180o

→A,H,C,K→A,H,C,K thuộc đường tròn đường kính AC

b. Vì ADAD là đường kính của (O)
→AB⊥BD→AB⊥BD

Mà BH⊥AD→AB2=AH.ADBH⊥AD→AB2=AH.AD

c. Vì BC⊥AD→B,CBC⊥AD→B,C đối xứng qua AD
→ˆABC=ˆACB→ABC^=ACB^

Mà AMCBAMCB nội tiếp (O)→ˆKMC=ˆABC(O)→KMC^=ABC^

→ˆNMK=ˆAMB=ˆACB=ˆABC=ˆKMC→NMK^=AMB^=ACB^=ABC^=KMC^

Xét 2 tam giác vuông ΔMKNΔMKN và ΔMKCΔMKC có:

KMKM chung

ˆNMK=ˆKMCNMK^=KMC^ (cmt)

⇒ΔMKN=ΔMKC⇒ΔMKN=ΔMKC (cạnh góc vuông-góc nhọn)

⇒KN=KC⇒AK⇒KN=KC⇒AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến ΔANCΔANC

⇒ΔANC⇒ΔANC cân đỉnh AA.

d. Vì ΔACNΔACN cân tại A →AN=AC→AN=AC

Mà B,C đối xứng qua AD
→AC=AB→AN=AB→ΔABN→AC=AB→AN=AB→ΔABN cân đỉnh AA

Lấy E là trung điểm BN→AE⊥BN→AE⊥BN

→E→E là trung điểm BN

→SABN=12AE.BN=12AE.2BE=AE.BE≤AE2+BE22=AB22→SABN=12AE.BN=12AE.2BE=AE.BE≤AE2+BE22=AB22

Dấu = xảy ra khi AE=BE→ˆABE=45o→ˆABM=45oAE=BE→ABE^=45o→ABM^=45o