Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn  [ f ' ( x ) ] 2 + f ( x ) f '' ( x ) ≥ 1 , ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] và f 2 ( 0 ) + f ( 0 ) . f ' ( 0 ) = 3 2 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x bằng

A.  5 2

B.  1 2

C.  11 6

D.  7 2

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], f(x) và f' (x) đều nhận giá trị dương trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=2, ∫ 0 1 f ' ( x ) . [ f ( x ) ] 2 + 1 ] dx = 2 ∫ 0 1 f ' ( x ) . f ( x ) dx . Tính ∫ 0 1 [ f ( x ) ] 3 dx ?

A. 15/4.

B. 15/2. 

C. 17/2.   

D. 19/2.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 1  và f ( 0 ) + f ( 1 ) = 0  Biết ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x = 1 2 ,   ∫ 0 1 f ' ( x ) c o s   πxdx = π 2  Tính  ∫ 0 1 f ( x ) d x

A.  2 / π

B.  3 π / 2

C.  π

D.  1 / π

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(0)=1 và 3 ∫ 0 1 [ ( f ' ( x ) . f ( x ) ) 2 + 1 9 ] d x ≤ 2 ∫ 0 1 f ' ( x ) . f ( x ) d x . Tính ∫ 0 1 [ f ( x ) ] 3  

A. 3/2

B. 5/4

C. 5/6

D. 7/6

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn với mọi  x , y , α , β ∈ [ 0 ; 1 ] và  α 2 + β 2 > 0 ta có α f ( x ) + β f ( y ) ≥ ( α + β ) f α x + β y α + β . Biết f(0)=0, ∫ 0 1 2 f ( x ) d x = 2 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ∫ 0 1 f ( x ) d x bằng

A. 8.

B. 4.

C. 2 2 .

D. 2.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x f ' ( x ) d x = ∫ 0 1 e x f ' ' ( x ) . Giá trị của biểu thức  e f ' 1 - f ' 0 e f 1 - f 0 bằng

A. -2

B. -1

C. 2.

D. 1.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=0 và ∫ 0 1 [ f ' ( x ) ] 2 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 ) e x f ( x ) d x = e 2 - 1 4  Tính tích phân  I= I = ∫ 0 1 f ( x ) d x

A. I=2-e

B. I=e-2

C. I=e/2

D.   I = e - 1 2

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và ∀ x ∈ 0 ; 2018 , ta có f ( x ) > 0  và f ( x ) . f ( 2018 − x ) = 1  . Giá trị của tích phân I = ∫ 0 2018 1 1 + f ( x ) d x  là

A. 2018

B. 0

C. 1009

D. 4016