Lời giải:

Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n$ với $a_i$ nguyên với $i=\overline{0,n}$

Ta có:

\(f(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+...+a_na^n; f(b)=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n\)

\(\Rightarrow f(a)-f(b)=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)\)

Dễ thấy: $a^j-b^j\vdots a-b$ với mọi $j\geq 1$ nên $f(a)-f(b)\vdots a-b$

 Ta có đpcm.

Giả sử \(f\left(x\right)=m_nx^n+m_{n-1}x^{n-1}+...+m_1x+m_0\) với \(m_0;m_1;...;m_n\in Z\).

Ta có \(f\left(a\right)-f\left(b\right)=m_n\left(a^n-b^n\right)+m_{n-1}\left(a^{n-1}-b^{n-1}\right)+...+m_1\left(a-b\right)\).

Dễ thấy tổng trên chia hết cho a - b với mọi a, b nguyên.

Vậy ta có đpcm.

Giả sử f(x) = c₀ + c₁x + ... + c_nxⁿ với c₀, c₁, ..., c_n là các số nguyên

f(a) - f(b) = (c_n.aⁿ + ... + c₁.a + c₀) - (c_n.bⁿ + ... + c₁.b + c₀)

= c_n(aⁿ - bⁿ) + ... + c₁(a - b) + (c₀ - c₀)

= c_n(a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + b^n-1) + ... + c₁(a - b)

= (a - b)(...) ⋮ (a - b)

Vậy bài toán đã được chứng minh

Theo mình thì trước tiên tìm công thức truy hồi cái đã

Giả sử f(n+1)=a.f(n)+b.f(n-1)+c

Thay x=1,x=2,x=3 và tính được f(4)=3,f(5)=5vào ta thu được hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\2a+b+c=3\\3a+2b+c=5\end{cases}}\)

Giải hệ trên được a=1,b=1,c=0

Vậy f(n+1)=f(n)+f(n-1)

Giờ tới đây khá dễ dàng để làm rồi chắc chỉ lưu giá trị rồi lập thôi

Câu 2: Ta có: a , b ,c là các số thực dương ( bài cho )

=> Tồn tại 3 số thực dương x , y, z thỏa mãn : \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{x}{z}\)

=> \(\frac{a-1}{c}+\frac{c-1}{b}+\frac{b-1}{a}=\frac{x^3}{xyz}+\frac{y^3}{xyz}+\frac{z^3}{xyz}=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\)

<=>\(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\ge0=\frac{x^2y+y^2z+z^2x}{xyz}\)( Bước này tách 0 ra cho cùng mẫu )

<=> \(x^3+y^3+z^3\ge x^2y+y^2z+z^2x\)

Áp dụng BĐT TB cộng và TB nhân => \(x^3+y^3+z^3\ge3x^2y\)

Làm 2 BĐT tương tự rồi cộng vào => Đpcm 

câu hỏi hay, éo biết làm =)