Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) + f( π 3 - x )= 1 2 sin x cos x ( 8 cos 3 x + 1 ) , ∀ x ∈ R  Biết tích phân I= ∫ 0 π 3 f ( x ) d x  được biểu diễn dưới dạng I= a b ln c d ; a , b , c , d   ∈ Z  và các phân số a b ; c d  là các phân số tối giản. Tính S= a 3 + a b - c + d

Cho hàm số liên tục trên khoảng (a;b) và x 0   ∈   ( a ; b ) . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) Hàm số đạt cực trị tại điểm x 0 khi và chỉ khi f ' ( x 0 )   =   0 .

(2) Nếu hàm số y   =   f ( x ) có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x 0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x 0 )   =   f ' ' ( x 0 )   =   0 thì điểm  x 0 không phải là điểm cực trị của hàm số  y   =   f ( x ) .

(3) Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm  x 0 thì điểm  x 0 là điểm cực tiểu của hàm số  y   =   f ( x ) .

(4) Nếu hàm số  y   =   f ( x ) có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm  x 0 thỏa mãn điều kiện f ' ( x 0 )   =   0 ,   f ' ' ( x 0   )   >   0 thì điểm  x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y   =   f ( x ) .

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Giả sử hàm số y = f(x)  liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng 0 ; + ∞   và thỏa mãn f(1) = 1; f ( x )   =   f ' ( x ) 3 x + 1 . Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề dưới đây

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn 0   <   g ( x )   <   f ( x ) ,   ∀   x   ∈   [ a ; b ] . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y   =   f ( x ) ,   y   =   g ( x ) ,   x   =   a ;   x   =   b .   Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

A.  π ∫ a b f x - g x 2 dx

B. π ∫ a b f 2 x - g 2 x dx

C. π ∫ a b f x - g x dx 2

D. ∫ a b f x - g x dx

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn  0   <   g ( x )   <   f ( x ) ,   ∀   x   ∈   [ a ; b ] .  Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:  y   =   f ( x ) ,   y   =   g ( x ) ,   x   =   a ;   x   =   b .   Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

A.  π ∫ a b f x - g x 2 dx

B.  π ∫ a b f 2 x - g 2 x dx

C.  π ∫ a b f x - g x dx 2

D.  ∫ a b f x - g x dx

Cho số thực a>0 Gỉa sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0;a] thỏa mãn f(x).f(a-x) = 1 Tính tích phân  I = ∫ 0 a 1 1 + f ( x ) d x

A. a/3

B. a/2

C. a

D. 2a/3

Biết luôn có hai số a, b để F ( x )   =   a x + b x + 4 ( 4 a - b ≠ 0 )  là nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2 f 2 ( x )   =   ( F ( x ) - 1 ) f ' ( x ) . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

Cho số thực a>0. Giả  sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn [0;a] thỏa mãn f(x).(fa-x) = 1 Tính tích phân  ∫ 0 1 1 1 + f ( x ) d x

A. I = a/2

B. I = a

C. I = 2a/3

D. I = a/3

Cho  hàm  số    y f x   liên  tục  trên    đồng  thời  thỏa  điều  kiện    0 0 f   và 
   
4 2
4 9 2 1 f x x f x x x      
 
,  x    .  Hàm  số      4 2020 g x f x x     nghịch  biến  trên 
khoảng nào? 
A.    1;   .  B.    1;  .  C.    ;1  .  D.    1;1  .