qua d lấy B' đối xứng với B ta có d là trung trực của BB' mà M∈d => MB=MB'
=> AM+MB = AM+ MB' ≥ AB' (bđt tam giác trong tam giác AB'M)( dấu = khi A M B' thẳng hàng)

Từ A kẽ AH vuông góc d và A'H đối xứng với AH

R là giao điểm A'B và d.

Vì AH=A'H (cách dựng) và HP vuông góc với AA' nên dễ dàng suy ra tam giác APA' cân => AP=A'P

Áp dụng t/chất đường gấp khúc ta có:

AP+PB=A'P+PB>=A'B

Dấu ''='' xảy ra khi 3 điểm A',P,B thẳng hàng hay P trùng R

nhầm tí thay P thành M nha

Vẽ điểm C đối xứng với B qua đường thẳng d, giả sử tìm được điểm M trên d thì MB = MC ( 1 ).

Do A, B, d cố định nên C cũng cố định suy ra độ dài đoạn AC không đổi.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có vào Δ AMC ta được: MA + MC ≥ AC ( 2 )

Dấu bằng xảy ra khi M nằm giữa A và C hay M là giao điểm của AC và đường thẳng d

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng AC khi M là giao điểm của AC và đường thẳng d

Vẽ điểm C đối xứng với B qua đường thẳng d, giả sử tìm được điểm M trên d thì MB = MC ( 1 ).

Do A, B, d cố định nên C cũng cố định suy ra độ dài đoạn AC không đổi.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có vào Δ AMC ta được: MA + MC ≥ AC ( 2 )

Dấu bằng xảy ra khi M nằm giữa A và C hay M là giao điểm của AC và đường thẳng d

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng AC khi M là giao điểm của AC và đường thẳng d

Cách giải:

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên \(MA=MA'\left(1\right)\). Do đó: \(MA+MB=MA'+MB=A'B.\) .
- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : \(M'A+M'B=M'A'+M'B\ge A'B\). Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(A'M'B'\) thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’.

Chúc bạn học tốt!