Ghi lại đề: \(y=\left(m+1\right)x-3;y=\left(2m-1\right)x+4\)

\(a,m=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}x-3\\y=-2x+4\end{matrix}\right.\)

Hệ số a 2 đt đã cho là \(\dfrac{1}{2};-2\) có tích là -1 nên 2 đt vuông góc

\(b,\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)=-1\\ \Leftrightarrow2m^2+m-1=-1\\ \Leftrightarrow2m^2+m=0\\ \Leftrightarrow m\left(2m-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Để hai đường thẳng vuông góc :

\(\Leftrightarrow m\left(4m-5\right)=-1\Leftrightarrow4m^2-5m+1=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

b ) Gọi điểm cố định mà \(d_2\) đi qua là M \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow y_0=\left(4m-5\right)x_0+3m\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(4x_0+3\right)-\left(5x_0+y_0\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x_0+3=0\\5x_0+y_0=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_0=-\frac{3}{4}\\y_0=\frac{15}{4}\end{cases}\Rightarrow}M\left(-\frac{3}{4};\frac{15}{4}\right)}\)

2 hàm số bậc nhất \(y=mx+3,y=\left(2m+1\right)x-5\left(đk:m\ne0,m\ne-\dfrac{1}{2}\right)\)

a) Để 2 đường thẳng song song với nhau thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\\m=2m+1\\3\ne-5\left(luôn.đúng\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\\m=-1\end{matrix}\right.\)

b) Để 2 đường thẳng cắt nhau:

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\\m\ne2m+1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)

c) Để 2 đường thẳng vuông góc với nhau:

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\\m\left(2m+1\right)=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\\2m^2+m+1=0\left(VLý.do.2m^2+m+1=2\left(m+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}>0\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy 2 đường thẳng này không vuông góc với nhau với mọi m

\(a,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2m+1\\-5\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\\ b,\Leftrightarrow m\ne2m+1\Leftrightarrow m\ne-1\\ c,\Leftrightarrow m\left(2m+1\right)=-1\\ \Leftrightarrow2m^2+m+1=0\\ \Delta=1-8< 0\\ \Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Vậy 2 đt không thể vuông góc nhau

`a)` Hai đường thẳng cắt nhau `<=>{(a ne a'),(a' ne 0):}`

                 `<=>{(3 ne -2m+1),(-2m+1 ne 0):}<=>{(m ne -1),(m ne 1/2):}`

`b)` Hai đường thẳng song song `<=>{(a' ne 0),(a=a'),(b ne b'):}`

           `<=>{(m ne 1/2),(3=-2m+1),(-2k ne 2k-4):}`

          `<=>{(m=-1),(k ne 1):}`

a: Để hai đường thẳng song song thì m-1=3-m

=>2m=4

hay m=2

\(\text{//}\Leftrightarrow m-1=3-m\Leftrightarrow m=2\\ \cap\Leftrightarrow m-1\ne3-m\Leftrightarrow m\ne2\)