a) Vì A,B,C ∈ (O)

⇒ BO = OA = OC

⇒ BO = AC/2.

Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC

=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí)

⇒ 

Chứng minh tương tự

Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD.(AC,AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’))

Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔABD có:

AB chung, AC = AD

⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ BC = BD(hai cạnh tương ứng)

⇒ ( định lý )

b) Xét tam giác AED có đường trung tuyến EO' bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD ( O'E = O'A = O'D = AD/2)

=> Tam giác AED vuông tại E

⇒ 

⇒ ΔECD vuông tại E.

Ta có:

Suy ra: C, B, D thẳng hàng.

Tam giác ECD vuông có EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền( Vì BC = BD câu (a) )

⇒ EB = BD (CD/2).

⇒ (định lý) hay B là điểm chính giữa cung 

Kiến thức áp dụng

+ Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau thì hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

a) Nối C đến D.

Ta có 2 đường tròn bằng nhau => AC = AD

=> ∆ ACD cân tại A

Lại có góc ABC = 90°; do có OB = OC = OA = R ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Tương tự có góc ABD = 90°

=> ABC + ABD = 180°

=> C; B; D thẳng hàng và AB ⊥ CD

=> BC = BD

=> cung BC = cung BD

b) Nối E đến D; từ B hạ BH ⊥ ED Ta có góc DEA = 90° ( chứng minh tương tự theo (a) )

=> BH // EC

Mà theo (a) ta có BE = BD

=> BH là đường trung bình tam giác CDE

=> HE = HD mà BH ⊥ ED => B là điểm chính giữa cung EBD

a) Nối C đến D.

Ta có 2 đường tròn bằng nhau => AC = AD

=> ∆ ACD cân tại A

Lại có góc ABC = 90°; do có OB = OC = OA = R ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Tương tự có góc ABD = 90°

=> ABC + ABD = 180°

=> C; B; D thẳng hàng và AB ⊥ CD

=> BC = BD

=> cung BC = cung BD

b) Nối E đến D; từ B hạ BH ⊥ ED Ta có góc DEA = 90° ( chứng minh tương tự theo (a) )

=> BH // EC

Mà theo (a) ta có BE = BD

=> BH là đường trung bình tam giác CDE

=> HE = HD mà BH ⊥ ED => B là điểm chính giữa cung EBD

cần hình ib mình mình gửi cho nhé =) 

a) 

Vì (O) và (O′) cắt nhau tại hai điểm A và B nên OO′ vuông AB ( định lý )

- Xét tam giác ADC

 Có OO′ là đường trung bình ( vì O là trung điểm AC , O′ là trung điểm của AD)

Nên => OO′ // CD 

=>  AB vuông CD ( Quan hệ từ vuông góc đến song song )

Xét tam giác ADC 

Có AC = AD ( vì hai đường tròn (O) và (O′) có cùng bán kính )

=> Tam giác ACD cân tại A có AB là đường cao nên AB cũng là đường trung tuyến

 =>  BC = BD hay cung BC = cung BD  (vì (O) và (O′)  là hai đường tròn bằng nhau )

b) Xét đường tròn (O′) có A , E , D cùng thuộc đường tròn và AD là đường kính nên tam giác AED vuông tại E

\(\Rightarrow DE\perp AC\Rightarrow\widehat{DEC}=90^o\)

- Xét \(\Delta DEC\)vuông tại E có B là trung điểm DC ( cmt )

\(\Rightarrow EB=\frac{DC}{2}=BD=EB\)

=> Cung EB = cung BD ( định lý )

 Do đó B là điểm chính giữa cung ED

 

Xét tam giác AED có đường trung tuyến EO' bằng một phần hai cạnh tương ứng là AD ( O'E = O'A = O'D = AD/2)

=> Tam giác AED vuông tại E

⇒ 

⇒ ΔECD vuông tại E.

Tam giác ECD vuông có EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền( Vì BC = BD câu (a) )

⇒ EB = BD (CD/2).

⇒ (định lý) hay B là điểm chính giữa cung 

A) 2 tam giác vuông ABC,ABD bằng nhau ( vì cạnh huyền bằng nhau và cạnh góc vuông AB chung)

<=> CB=BD

Do 2 đường tròn (O) ; (O')  bằng nhau nên

\(\widebat{BC}=\widebat{BD}\)

B) E nằm trên đường tròn đường kính AD nên

\(\widebat{AED}=90^0\)

Vì BC=BD (ở trên)

NênEB là trung tuyến của tam giác ECD vuông tại E 

Từ đó,ta có : EB=ED

Vậy \(\widebat{BE}=\widebat{BD}\)và B là điểm chính giữa cung \(\widebat{EBD}\)

a) Vì \(A,B,C\in O\)

=> BO = OA = OC

\(\Rightarrow BO=\frac{AC}{2}\)

Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC

=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí )

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=90^o\)

Chứng minh tương tự :

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=90^o\)

Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau

=> AC = AD ( AC , AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’) )

Xét hai tam giác vuông ABC và ABD có:

AB chung , AC = AD

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ABD\left(ch-cgv\right)\)

=> BC = BD ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\widebat{BC}=\widebat{BD}\)( định lí )

Làm được mỗi câu a) ;-; thông kảm

 Vì A,B,C ∈ (O)

⇒ BO = OA = OC

⇒ BO = AC/2.

Tam giác ABC có đường trung tuyến BO và BO bằng một phần hai độ dài cạnh tương ứng AC

=> Tam giác ABC là tam giác vuông tại B ( định lí)

⇒ 

Chứng minh tương tự

Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD.(AC,AD lần lượt là bán kính của (O) và (O’))

Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔABD có:

AB chung, AC = AD

⇒ ΔABC = ΔABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ BC = BD(hai cạnh tương ứng)

⇒ ( định lý )