\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)

\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}+8008\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008}=8008\\\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=4034\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(2a+3b=4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)=-4\Leftrightarrow-2506\left(2a+3b\right)=-10024\)

\(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

Ta có

Q = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 5012 a − 7518 b = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 2506 2 a + 3 b    

+ Vì a, b dương và  2 a + 3 b ≤ 4 ⇒ 0 < 2 a + 3 b ≤ 4  do đó

     Q ≥ 2002.2. 1 a .4 a + 2017.2. 1 b . b − 2506.4 = 2018  với mọi a, b>0 và  2 a + 3 b ≤ 4 , dấu bằng xảy ra khi  a = 1 2  và b= 1.

+ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018  khi  a = 1 2  và b= 1..

Ta có:

\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b\)

\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)

\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:

\(\dfrac{2002}{a}+8008a\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008a}=2.4004=8008\) (1)

\(\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=2.2017=4034\) (2)

Có \(2a+3b\le4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)\ge-4\Rightarrow-2506\left(2a+3b\right)\ge-10024\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}=8008a\\\dfrac{2017}{b}=2017b\\2a+3b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy,...

\(Q=\frac{2002}{a}+8008a+\frac{2017}{b}+2017b-2506\left(2a+3b\right)\)

\(Q\ge2\sqrt{\frac{2002}{a}.8008a}+2\sqrt{\frac{2017}{b}.2017b}-2506.4\)

\(Q\ge2018\)

\(\Rightarrow Q_{min}=2018\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

đề có sai không vậy 

Đúng mà bn!

Áp dụng bđt \(\dfrac{9}{a+b+c}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Khi đó \(\dfrac{9.ab}{a+3b+2c}=ab.\dfrac{9}{\left(a+c\right)+\left(c+b\right)+2b}\le\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{a}{2}\)

Tương tự và cộng theo vế suy ra \(9A\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}=9< =>A\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2