Ta có:

\(P=\frac{18}{x^2+y^2}+\frac{9}{xy}+\frac{4}{xy}=\frac{18}{x^2+y^2}+\frac{18}{2xy}+\frac{4}{xy}\)

\(=18.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{4}{xy}\ge18.\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=18.4+4.4=72+16=88\)

Dấu bằng xảy ra: \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\frac{1}{4x^2+2}+\frac{1}{4y^2+2}+\frac{1}{6xy}+\frac{1}{6xy}+\frac{5}{3xy}\)

\(P\ge\frac{16}{4x^2+4y^2+12xy+4}+\frac{5}{3xy}=\frac{16}{4\left(x+y\right)^2+4xy+4}+\frac{5}{3xy}\)

\(P\ge\frac{16}{4\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)^2+4}+\frac{5}{3.\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{7}{3}\)

\(P_{min}=\frac{7}{3}\) khi \(x=y=1\)

MIk CHỈ GIẢI A VÀ B THÔI NHÉ!! NẾU SAI MONG CÁC BẠN THÔNG CẢM!!

A= \(\left(x+y\right)^2-2xy\ge-2xy\)

B= \(3\left(x^2+y^2\right)+4xy=3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+4xy\)

  = \(3\left(x+y\right)^2-6xy+4xy=3\left(x+y\right)^2-2xy\ge-6xy\)( DO TỚ LẤY 3 NHÂN VỚI -2 NHA)

VẬY GTNN CỦA A VÀ B LẦN LƯỢT LÀ -2XY VÀ -6XY (ĐỀU TMĐK) 

\(A=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(=\frac{1}{16x^2}+\frac{4}{16y^2}+\frac{16}{16z^2}\)

\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{16}{z^2}\right)\)

\(\ge\frac{1}{16}.\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49}{16}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{2}{y^2}=\frac{4}{z^2}=7\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{7}}\\y=\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)hoặc \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{\sqrt{7}}\\y=-\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=-\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)

Thêm 1 cách nhé!Câu hỏi của Dang Quốc Hung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

@Cool Boy @ Cách làm của em hay lắm nhưng x, y, z >0 em nhé! 

+ \(P=\frac{x}{y^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\)

+ \(\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\)

+ \(x^2+1\ge2x\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+1}\le\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow-\frac{x^2}{x^2+1}\ge-\frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}\ge1-\frac{x}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 1

+ Tương tự ta cm đc :

\(\frac{1}{y^2+1}\ge1-\frac{y}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> y = 1

\(\frac{1}{z^2+1}\ge1-\frac{z}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> z = 1

Do đó : \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge3-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (1)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.

+ \(\frac{x}{y^2+1}=\frac{x\left(y^2+1\right)-xy^2}{y^2+1}=x-\frac{xy^2}{y^2+1}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\) ( do \(y^2+1\ge2y\forall y\) )

Dấu "=" xảy ra <=> y = 1.

Tương tự : \(\frac{y}{z^2+1}\ge y-\frac{yz}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> z = 1.

\(\frac{z}{x^2+1}\ge z-\frac{zx}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x = 1.

Do đó : \(\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge3-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}\)

( do \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) )

\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.

Từ (1) và (2) suy ra

\(P\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

P = 3 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min P = 3 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).