Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y'=\dfrac{\left(2x-m\right)\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2-mx+m\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2x-mx^2-m+2mx^2-2mx}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{mx^2+2\left(1-m\right)x-m}{\left(x^2+1\right)^2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow mx^2+2\left(1-m\right)x-m=0\)
Xet \(m=0\) ko thoa man pt
Xet \(m\ne0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\\dfrac{2\left(m-1\right)}{m}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(1-m\right)^2+m^2>0\left(ld\right)\\m=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow m=-2\)
\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)-x^2+3x-7}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x^2-2x-4}{\left(x-1\right)^2}\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{5}\\x=1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=12\)
Hoặc bạn dùng Vi-ét cũng được, tùy
\(y'=x^2-2\left(m+2\right)x+2m+3\)
\(a+b+c=1-2m-4+2m+3=0\)
\(\Rightarrow y'=0\) luôn có nghiệm
Để hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow2m+3\ne1\Rightarrow m\ne-1\)
Khi đó ta có \(\frac{x_1+x_2}{2}=1\Leftrightarrow m+2=1\Rightarrow m=-1\)
Vậy ko tồn tại m thỏa mãn
\(y'=3mx^2-2mx+3\)
Để hàm có cực trị y' phải có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm
ĐK: \(m\ne0\) với m khác không: y' là hàm bậc 2 => phải có 2 nghiệm phân biệt
\(\Delta_{ }=m^2-3m.3=m\left(m-9\right)>0\Rightarrow\left[\begin{matrix}m< 0\\m>9\end{matrix}\right.\)
Kết luận: với \(\left[\begin{matrix}m< 0\\m>9\end{matrix}\right.\) hàm số y(x) có cực trị
\(f\left(x\right)=x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3\\ f'\left(x\right)=3x^2-6x+2m-2\\ \Delta'_{f'}=-6m+15\)
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_{f'}=-6m+15>0\\y_{CĐ}y_{CT}< 0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{5}{2}\\\left[\left(\frac{4}{3}m-\frac{10}{3}\right)x_{CĐ}+\frac{5}{3}m-\frac{11}{3}\right]\left[\left(\frac{4}{3}m-\frac{10}{3}\right)x_{CT}+\frac{5}{3}m-\frac{11}{3}\right]\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}m< \frac{5}{2}\\32m^3+3m^2-534m+823< 0\end{matrix}\right.\left(k\right)}\)
Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=3>0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2m-2\\x_1x_2x_3=3-m>0\end{matrix}\right.\)
Từ \(x_1< -1< x_2< x_3\Rightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_2+1\right)< 0\)
Và từ \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_3+1\right)< 0\), do Viet ở trên nên \(x_1< -1< x_2< x_3\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài \(\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_3+1\right)< 0\\ \Leftrightarrow x_1x_2x_3+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1+x_2+x_3+1< 0\\ \Leftrightarrow3-m+2m-2+3+1< 0\Leftrightarrow m< -5\)
Với m<-5 thì thỏa mãn điều kiện (k) ở trên. Vậy -10<m<-5
Ta có \(y'=x^2-x\left(sina+cosa\right)+\frac{3}{4}sin2a\)
Để y có cực đại và cực tiểu thì y' đổi dấu hai lần, tức là:
\(\Delta=\left(sina+cosa\right)^2-3sin2a>0\)
\(\Leftrightarrow1+sin2a-3sin2a>0\)
\(\Leftrightarrow sin2a< \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\eta}{6}+k2\eta< 2a< \frac{13\eta}{6}+k2\eta\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\eta}{12}+k\eta< a< \frac{13\eta}{12}+k\eta\)
Tại cực trị \(y'=0\Leftrightarrow x^2-x\left(sina+cosa\right)+\frac{3}{4}sin2a=0\)(*)
(*) cho ta\(x_1+x_2=sina+cosa,x_1x_2=\frac{3}{4}sin2a\)(*)
Để \(x_1+x_2=x^2_1+x^2_2\)thì \(x_1+x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1+x_2\)
\(\Leftrightarrow sina+cosa=\left(sina+cosa\right)^2-\frac{3}{2}sin2a\)
\(\Leftrightarrow sina+cosa=1-\frac{1}{2}sin2a\)
Đặt \(t=cosa+sina=\sqrt{2}cos\left(a-\frac{\eta}{4}\right),t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)
\(t^2=1+sin2a\Rightarrow sin2a=t^2-1\)
Do đó phương trình trên trở thành:
\(t=1-\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)\Leftrightarrow2t=3-t^2\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\Leftrightarrow t=1,t=-3\)
Vì\(t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)nên chỉ nhân t=1
\(\Rightarrow cos\left(a-\frac{\eta}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\frac{\eta}{4}\)
\(\Leftrightarrow a-\frac{\eta}{4}=\pm\frac{\eta}{4}+k2\eta\)
\(\Leftrightarrow a=k2\eta\)hay \(a=\frac{\eta}{2}+k2\eta\)(thỏa điều kiện câu a)