\(y'=2x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2=3.9>0\)

     \(=\left(m+1\right)^2-3>0\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có : \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là \(\left(x_1;y_1\right)\) và  \(\left(x_2;y_2\right)\)

=> \(y_1=-2\left(m^2+2m-2\right)x_1+4m+1\)

   \(y_2=-2\left(m^2+2m-2\right)x_2+4m+1\)

Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\) ta có điều kiện cần là :

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Theo định lí Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\)

Khi m =1 => phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2x+5\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là :

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=1\) thỏa mãn

Khi m=-3 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x-11

(làm tương tự cách như trên)

kho nhu bay len mat troi

gợi ý :

Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có cực đại ,cực tiểu .

1.

Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow m< 3\)

2.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)

\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb

\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)

\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)

\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)

Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)

Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :

\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)

Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)

Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=0\)

a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)

Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)

Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm

b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\). 

Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)

Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)

Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)

Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)

                           \(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)

                \(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)          \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)

Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)

Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$

$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$

Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$

Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$

$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu

$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại 

$BO=\sqrt{2}AO$

$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$

$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$