1. \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2+4xy=8\left(1\right)\\\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)=8\end{matrix}\right.\)

=> \(3x^2+3xy+xy+y^2=\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(3x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2\right)=0\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(x^2+xy+2-3x-y\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\x^2+xy+2-3x-y=0\end{matrix}\right.\)

TH1: x = -y thay vào pt (1), ta được:

3y² + y² - 4y² = 8

<=> 0y = 8 (vô lí)

TH2: \(x^2+xy+2-3x-y=0\)

<=> x (x + y) - (x + y) - 2(x - 1) = 0

<=> (x - 1)(x + y) - 2(X - 1) = 0

<=> (x - 1)(x + y - 2) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)

Với x =  1 thay vào pt (1) -> 3 + y² + 4y = 8

<=> y² + 4y - 5 = 0 <=> (y + 5)(y - 1) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}y=-5\\y=1\end{matrix}\right.\)

Với x + y - 2 = 0 => x = 2 - y thay vào pt (1)

=> 3(2 - y)² + y² + 4(2 - y)y = 8

<=> 3y² - 12y + 12 + y² + 8 - 4y² = 8

<=> 12 = 12y <=> y= 1 => x = 2 - 1 = 1

Vậy ....

a Để hpt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-2;3\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2+3m=4\\-2n+3=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=6\\-2n=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=2\end{matrix}\right.\)

b Để hpt có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{n}=\dfrac{m}{1}=\dfrac{4}{-3}\) \(\left(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\right)\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{n}=-\dfrac{4}{3}\\m=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{4}{3}\\n=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Lời giải:

a.

Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$

$\Leftrightarrow x+2m=7$

$\Leftrightarrow x=7-2m$

$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$

Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$

b.

$xy>0$

$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$

$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$

Do $m$ nguyên nên $m=3$

Thử lại thấy đúng.

\(\left\{{}\begin{matrix}ax+x+y=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ax+y+x=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\)

Thế pt dưới vào pt trên ta có:

\(2a+x=4\Rightarrow x=4-2a\)

Thế vào pt dưới: \(y=2a-ax=2a-a\left(4-2a\right)=2a^2-2a\)

\(\Rightarrow\) Hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất

Lại có \(x+y=4-2a+2a^2-2a=2a^2-4a+4\)

\(=2a^2-4a+2+2=2\left(a-1\right)^2+2\ge2\) \(\forall a\) (đpcm)

Từ pt (1) ta có: y=ax-2 thế vào pt (2) ta được:

          \(x+a\left(ax-2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow x+a^2x-2a=3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)x=2a+3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2a+3}{a^2+1}\) (Vì \(a^2+1\ne0\))

\(\Rightarrow y=a\cdot\dfrac{2a+3}{a^2+1}-2=\dfrac{3a-2}{a^2+1}\)

Vậy với mọi a hệ có nghiệm duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2a+3}{a^2+1};\dfrac{3a-2}{a^2+1}\right)\)