\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)

Vận dụng tính chất giao hoán ta có: \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \]

Chọn C.

Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \end{array}\)

Lại có: 

\(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .\)

Vậy \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {MN}  = \;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .\)

Ta có: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MO}\)(Vì O là trung điểm của AC và BD)

=> M,N,O thẳng hàng.

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm O cố định

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O.

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND}  \\=  \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) \\=  \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} \) (đpcm)                                                             

b) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

\(\)\(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} \)

\(\left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \)

Mặt khác ta có: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Cách 2: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} (đpcm)
\end{array}\)