a) Ta có:

\(AE = EB = \frac{1}{2}AB\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))

\(DF = FC = \frac{1}{2}CD\) (\(F\) là trung điểm của \(CD\))

\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(AE = CF = EB = DF\)

Xét tứ giác \(AECF\) ta có:

\(AE\) // \(CF\) (do \(AB\) // \(CD\))

\(AE = CF\)

Suy ra \(AECF\) là hình bình hành

b) Vì \(AB = 2AD\) (gt) và \(AB = 2AE\)  (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))

Suy ra \(AD = AE\)

Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE\) // \(DF\) và \(AE = DF\) (cmt)

Suy ra \(AEFD\) là hình bình hành

Mà \(AE = AD\) (cmt)

Suy ra \(AEFD\) là hình thoi

c) Ta có \(AF \bot DE\) (do \(AEFD\) là hình thoi)

và \(AF\) // \(EC\) (\(AECF\) là hình bình hành)

Suy ra \(EC \bot DE\)

Suy ra \(\widehat {IEK} = 90^\circ \)

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(EF = AE\)

Và \(AE = \frac{1}{2}AB\) (gt)

Suy ra \(EF = \frac{1}{2}AB\)

Xét \(\Delta AFB\) có \(FE\) là đường trung tuyến và \(EF = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra \(\Delta AFB\) vuông tại \(F\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90\)

Xét tứ giác \(EIFK\) ta có:

\(\widehat {{\rm{EIF}}} = 90\) (do \(AF \bot DE\))

\(\widehat {{\rm{IEK}}} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90^\circ \) (cmt)

Suy ra \(EIFK\) là hình chữ nhật

d) \(EIFK\) là hình vuông

Suy ra \(FI = EI\)

Mà \(EI = ID = \frac{1}{2}DE\) ( do \(AEFD\) là hình thoi)

\(FI = IA = \frac{1}{2}AF\)  (do \(AEFD\) là hình thoi)

Suy ra \(AF = DE\)

Mà \(AEFD\) là hình thoi

Suy ra \(AEFD\) là hình chữ nhật

Suy ra \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ \)

Mà \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(ABCD\) là hình chữ nhật

Vậy nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EIFK\) là hình vuông

5. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành (gt)

=> AD // BC ; AD = BC (tc)

Vì M là trung điểm AD (gt)

     N là trung điểm BC (gt)

     AD = BC (cmt)

=> AM = DM = BN = CN

Vì AD // BC mà M ∈ AD, N ∈ BC

=> MD // BN 

Xét tứ giác MBND có : MD = BN (cmt)

                                     MD // BN (cmt)

=> Tứ giác MBND là hình bình hành (DHNB)

=> BM = DN (tc hình bình hành)

6. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành (gt)

=> AB // CD ; AB = CD (tc)

Vì E là trung điểm AB (gt)

     F là trung điểm CD (gt)

     AB = CD (cmt)

=> AE = BE = DF = DF 

Vì AB // CD mà E ∈ AB, F ∈ CD

=> BE // DF 

Xét tứ giác DEBF có : BE = DF (cmt)

                                     BE // DF (cmt)

=> Tứ giác DEBF là hình bình hành (DHNB)

a: Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

a: Xét tứ giác AECK có

AK//CE

AK=CE

=>AECK là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của AC

AECK là hbh

=>AC cắt EK tại trung điểm của mỗi đường

=>E,O,K thẳng hàng

c: Xét ΔDMC có

E là trung điểm của DC

EN//MC

=>N là trung điểm của DM

=>DN=NM

Xét ΔABN có

K là trung điểm của BA

KM//AN

=>M là trung điểm của BN

=>MB=MN=DN