a) Tìm thiết diện :

Trong mp(ABCD), gọi F = AD ∩ PN và E = AB ∩ PN

Trong mp(SAD), gọi Q = MF ∩ SD

Trong mp(SAB), gọi R = ME ∩ SB

Nối PQ, NR ta được các đoạn giao tuyến của mp(MNP) với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp là MQ, QP, PN, NR, RM

Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác MQPNR.

b) Tìm SO ∩ (MNP). Gọi H là giao điểm của AC và PN .

Trong (SAC), SO ∩ MH = I

Vậy I = SO ∩ (MNP).

Nhận xét

Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.

Như vậy: ∠(ACB) = ∠(ADB) = 1v.

a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

BC ⊥ SA & BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC. (1)

Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.

Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))

AJ ⊥ BC & AJ ⊥ SB (do SB ⊥ (P)) ⇒ AJ ⊥ (SBC) ⇒ AJ ⊥ JI (⊂ (SBC)) (3)

Lý luận tương tự, ta có:

BD ⊥ AD & BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AK (⊂ (SAD))

AK ⊥ BD & AK ⊥ SB(⊂ (P)) ⇒ AK ⊥ (SBD) ⇒ AK ⊥ KI. (4)

Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).

b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ

Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ

Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)

c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.

Gọi M = JK ∩ CD

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)

SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)

Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.

d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI

ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).

ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).

Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.

e) Theo chứng minh câu c.

f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).

Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn ( C 1 ) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).

Tương tự, tập hợp J là đường tròn ( C 2 ) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).

+ Lấy đối xứng qua đường thẳng IJ.

IJ là đường trung trực của AB và EF

⇒ ĐIJ(A) = B; ĐIJ (E) = F

O ∈ IJ ⇒ ĐIJ (O) = O

⇒ ĐIJ (ΔAEO) = ΔBFO

+ ΔBFO qua phép vị tự tâm B tỉ số 2

Vậy ảnh của ΔAEO qua phép đồng dạng theo đề bài là ΔBCD.

Phép đối xứng qua đường thẳng ***** biến tam giác AEO thành tam giác BFO, phép vị tự tâm B, tỉ số 2 biến tam giác BFO thành tam giác BCD. Do đó ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng đã cho là tam giác BCD.

Phép đối xứng qua đường thẳng biến tam giác AEO thành tam giác BFO, phép vị tự tâm B, tỉ số 2 biến tam giác BFO thành tam giác BCD. Do đó ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng đã cho là tam giác BCD.

a) Giao điểm M của CD và mp(C’AE).

Trong mp(ABCD), d cắt CD tại M, ta có:

+ M ∈ CD

+ M ∈ d ⊂ (C’AE) ⇒ M ∈ (C’AE)

Vậy M là giao điểm của CD và mp(C’AE).

b) + Trong mặt phẳng (SCD), gọi giao điểm của MC’ và SD là N.

N ∈ MC’ ⊂ (C’AE) ⇒ N ∈ (C’AE).

N ∈ SD ⊂ (SCD) ⇒ N ∈ (SCD)

⇒ N ∈ (C’AE) ∩ (SCD).

⇒ (C’AE) ∩ (SCD) = C’N.

+ (C’AE) ∩ (SCB) = C’E.

+ (C’AE) ∩ (SAD) = AN.

+ (C’AE) ∩ (ABCD) = AE

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE) là tứ giác C’NAE

- Ảnh của A, B, O qua phép quay tâm O góc 90o lần lượt là: D, A, O

- Ảnh của D, A, O qua phép đối xứng qua đường thẳng BD là: D, C, O