Câu hỏi của Phạm Văn Hưng

Question

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

SA= SB =2a, ASB = 60, bSC =90, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 . tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Trên con đường thành công không có... · Accepted Answer

Mình không thạo vẽ hình trên này nên bạn tự vẽ hình nhé.Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên BC.Giả sử $\overrightarrow{CK}=x\overrightarrow{CB}\left(0< x< 1\right)$Đặt $SC=ka\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=a\sqrt{k^2+4}\AC=a\sqrt{k^2+8}\end{matrix}\right.$Ta có: $\dfrac{1}{SK^2}=\dfrac{1}{SB^2}+\dfrac{1}{SC^2}=\dfrac{1}{\left(2a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(ka\right)^2}$$\Rightarrow SK=\dfrac{2ka}{\sqrt{k^2+4}}$Ta có:$\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)=45^0$$\Rightarrow\left(AB;SK\right)=45^0$$\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}}{AB.SK}=cos45^0\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}}{AB.SK}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$Lại có:$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}=\left(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\right).\left[x\overrightarrow{SB}+\left(1-x\right)\overrightarrow{SC}\right]$$=xSB^2-x\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}+\left(x-1\right).\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}$$=x.4a^2-x.4a^2.\dfrac{1}{2}+\left(x-1\right).\dfrac{4a^2+k^2a^2-a^2\left(k^2+8\right)}{2}$$=2xa^2+\left(x-1\right).\left(-2a^2\right)=2a^2$$\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a^2}{2a.\dfrac{2ka}{\sqrt{k^2+4}}}\Leftrightarrow k=2$Do đó:$\left\{{}\begin{matrix}SC=2a\BC=2a\sqrt{2}\AC=2a\sqrt{3}\end{matrix}\right.$Ta có:$R=\sqrt{R_{SAB}^2+R_{ABC}^2-\dfrac{AB^2}{4}}$$=\sqrt{\left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2-\dfrac{\left(2a\right)^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi.\dfrac{10}{3}a^2=\dfrac{40}{3}\pi a^2$Câu trả lời: Mình không thạo vẽ hình trên này nên bạn tự vẽ hình nhé.Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên BC.Giả sử $\overrightarrow{CK}=x\overrightarrow{CB}\left(0< x< 1\right)$Đặt $SC=ka\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=a\sqrt{k^2+4}\AC=a\sqrt{k^2+8}\end{matrix}\right.$Ta có: $\dfrac{1}{SK^2}=\dfrac{1}{SB^2}+\dfrac{1}{SC^2}=\dfrac{1}{\left(2a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(ka\right)^2}$$\Rightarrow SK=\dfrac{2ka}{\sqrt{k^2+4}}$Ta có:$\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)=45^0$$\Rightarrow\left(AB;SK\right)=45^0$$\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}}{AB.SK}=cos45^0\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}}{AB.SK}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$Lại có:$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SK}=\left(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\right).\left[x\overrightarrow{SB}+\left(1-x\right)\overrightarrow{SC}\right]$$=xSB^2-x\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}+\left(x-1\right).\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}$$=x.4a^2-x.4a^2.\dfrac{1}{2}+\left(x-1\right).\dfrac{4a^2+k^2a^2-a^2\left(k^2+8\right)}{2}$$=2xa^2+\left(x-1\right).\left(-2a^2\right)=2a^2$$\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a^2}{2a.\dfrac{2ka}{\sqrt{k^2+4}}}\Leftrightarrow k=2$Do đó:$\left\{{}\begin{matrix}SC=2a\BC=2a\sqrt{2}\AC=2a\sqrt{3}\end{matrix}\right.$Ta có:$R=\sqrt{R_{SAB}^2+R_{ABC}^2-\dfrac{AB^2}{4}}$$=\sqrt{\left(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2-\dfrac{\left(2a\right)^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi.\dfrac{10}{3}a^2=\dfrac{40}{3}\pi a^2$