Trong mặt phẳng (ABCD) : BD ∩ EC = K

Trong mặt phẳng (SEC) : EF ∩ SK = J. Áp dụng định lí Me-nê-la-uýt vào tam giác EFC ta được: EJ/JF = 1

Đáp án B

Chứng minh B, J, I thẳng hàng. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác IAB ta được IJ/JB = 1/4.

Đáp án C

À, tưởng dài mà thực ra cũng dễ thôi, vì toàn điểm đặc biệt cả.

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow I\) là giao AN và SO

\(\Rightarrow I\) là trọng tâm SAC \(\Rightarrow\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2}{3}\)

Gọi E là giao điểm CM và BD, trong mp (SCM) nối MN cắt SE tại J

E là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\dfrac{BE}{BO}=\dfrac{2}{3}\)

Menelaus tam giác BOI:

\(\dfrac{BE}{EO}.\dfrac{OS}{SI}.\dfrac{IJ}{JB}=1\Rightarrow2.\dfrac{3}{2}.\dfrac{IJ}{JB}=1\Rightarrow JB=3IJ\)

\(\Rightarrow IB-IJ=3IJ\Rightarrow\dfrac{IB}{IJ}=4\)

Chà, bài này dựng xong hình là xong thôi (tính toán đơn giản bằng Talet)

Đầu tiên là dựng mp qua M và song song (SBD): qua M kẻ các đường thẳng song song SB, SD lần lượt cắt AB, AD tại E và F

Nối EF kéo dài cắt BC tại I và CD tại G

Qua G kẻ đường thẳng song song MF (hoặc SD) cắt MI kéo dài tại J

Talet cho ta: \(\dfrac{MI}{MJ}=\dfrac{IF}{GF}\)

Mà \(\dfrac{GF}{GI}=\dfrac{DF}{BI}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD}{BC+\dfrac{1}{2}BC}=...\)

Vậy là xong

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow\) O là trung điểm BD và AC

Trong mp ((SAC), nối SO cắt AM tại I

\(\Rightarrow I=AM\cap\left(SBD\right)\)

Ta có M là trung điểm SC, O là trung điểm AC

\(\Rightarrow\) I là trọng tâm tam giác SAC

\(\Rightarrow\dfrac{IA}{AM}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{MA}{IA}=\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng định lý Talet trong tam giác KAD:

\(\dfrac{KB}{KA}=\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow B,C\) lần lượt là trung điểm AK và DK

Mà E, F là trung điểm SA, SD

\(\Rightarrow\) M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAK và SDK

\(\Rightarrow\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{2}{3}\) ; \(\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}\) (Talet)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{3}AD\)

Lại có EF là đường trung bình tam giác SAD \(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{KMN}}{S_{KEF}}=\dfrac{MN}{EF}=\dfrac{\dfrac{1}{3}AD}{\dfrac{1}{2}AD}=\dfrac{2}{3}\)

Gọi giao của AC và BD là O

\(\left\{{}\begin{matrix}O\in AC\subset\left(SAC\right)\\O\in BD\subset\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAC\right)\\S\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

=>(SAC) giao (SBD)=SO