Xét tam giác ABD:

E là trung điểm AB (gt).

H là trung điểm AD (gt).

\(\Rightarrow\) EH là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) EH // BD; EH = \(\dfrac{1}{2}\) BD (Tính chất đường trung bình). (1)

Xét tam giác CBD:

F là trung điểm BC (gt).

G là trung điểm CD (gt).

\(\Rightarrow\) FG là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) FG // BD; FG = \(\dfrac{1}{2}\) BD (Tính chất đường trung bình). (2)

Xét tamgiacs ACD:

H là trung điểm AD (gt).

G là trung điểm CD (gt).

\(\Rightarrow\) HG là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) HG // AC (Tính chất đường trung bình).

Mà AC \(\perp\) BD (Tứ giác ABCD là hình thoi). 

\(\Rightarrow\) HG \(\perp\) BD.

Lại có: EH // BD (cmt).

\(\Rightarrow\) EH \(\perp\) HG.

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EH // FG; EH = FG.

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình bình hành (dhnb).

Mà EH \(\perp\) HG (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác ABCD là hình thoi (gt). 

\(\Rightarrow\) AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường (Tính chất hình thoi).

Mà I là giao điểm của AC và BD (gt.)

\(\Rightarrow\) I là trung điểm của AC và BD.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right).\\IB=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.10=5\left(cm\right).\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABI: AI \(\perp\) BI (AC \(\perp\) BD).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABI vuông tại I.

\(\Rightarrow S_{\Delta ABI}=\dfrac{1}{2}AI.IB=\dfrac{1}{2}.4.5=10\left(cm^2\right).\)

\(\perp\)

Câu 15: 

a: Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD
Do đó: EH là đường trung bình

=>EH//BD và EH=BD/2(1)

Xét ΔBCD có 

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của CD

Do đó: FG là đường trung bình

=>FG//BD và FG=BD/2(2)

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình

=>EF//AC

=>EF⊥BD

=>EF⊥EH

Từ (1) và (2) suy ra EH//FG và EH=FG

hay EHGF là hình bình hành

mà EF⊥EH

nên EHGF là hình chữ nhật

b: AI=AC/2=8/2=4(cm)

BI=BD/2=10/2=5(cm)

\(S_{AIB}=\dfrac{AI\cdot BI}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10\left(cm^2\right)\)

Xét \(\Delta ADB\):

\(AE=EB\left(gt\right)\)

\(HD=HA\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow HE\)là đường trung binh cũa \(\Delta ADB\).

\(\Rightarrow HE\)//\(DB\)và \(HE=\frac{1}{2}DB\left(1\right)\)

Xét \(\Delta CDB:\)

\(FB=FC\left(gt\right)\)

\(GC=GD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow GF\) là dường trung bình của \(\Delta CBD\).

\(\Rightarrow GF\)//\(DB\)và \(GF=\frac{1}{2}DB\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\)\(HE\)//\(GF\)và \(HE=GF\)

Vậy tứ giác \(EFGH\)là hình bình hành.

b) Xét \(\Delta AEH\)và \(\Delta EBF\):

\(AE=EB\left(gt\right)\)

Góc A = Góc B = 90^o (ABCD là hình chữ nhật)

\(AD=BC\Rightarrow\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC\Rightarrow AH=BF\)

\(\Rightarrow\Delta AEH=\Delta EBF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow HE=HF\)

mà tứ giác EFGH là hình bình hành.

Vậy hình bình hành \(EFGH\)là hình thoi.

Ta cm theo qui tắc đường trung bình của tam giác là ra ngay 
Ta có E là trung điểm của AB,F là trung điểm của BC>>>EF=1/2AC.tuơng tự HG=1/2 AC>>>EF=HG 
CM ttự với cặp còn lại là ra thôi

Bài 1
Áp dụng tính chất đường trung bình vào
*\large\Delta ABD có: AE=EB, BH=HD  EH //AD, EH=\frac{AD}{2}
*\large\Delta ACD có: AF=CF, DG=GC  GF //AD, GF=\frac{AD}{2}
*\large\Delta ABC có: AE=EB, BF=CF  EF //AD, EF=\frac{BC}{2}
*\large\Delta BCD có: BH=HD, DG=GC  HG //AD, GH=\frac{BC}{2}
Tứ giác EFGH có: EH//GF//AD, EH=GF=\frac{AD}{2}
 EFGH là hbh
a)Để EFGH là hcn  EH \perp \ EF, EF \perp \ FG, FG \perp \ GH
mà EH//AD, EF//BC, FG//AD , GH//BC
 AB \perp \  BC
 \widehat{ADC}+\widehat{BCD}=90^o
__________________

mình lớp 5 mong bạn thông cảm

a)      nối A với C ,  B với D được:

EF // AC ( đường trung bình của tam giác BAC)

HG // AC ( "         "          "          "        "          "       ) suy ra EF // AC  do cùng // AC

HE // DB ( đường trung bình tam giác ADB  )

FG // DB ( "     "           "         "         "         "        ) suy ra HE // FG  do cùng // với DB

Xét tứ giác EFGH có 2 cặp cạnh đối song song  nên EFGH là hình bình hành

b)  EFGH là hình ....

Thoi , suy ra EH = GH  nên AC=BD  ( do là đường trung bình của hai tam giác ADB,ADC)

vì AC = BD nên ABCD là hình thang cân

Chữ nhật, suy ra HE vuông góc với HG  nên AC vuông góc với  BD

Hình vuông   ,   kết hợp 2 yếu tố của 2 hình trên được AC=BD và AC vuông góc với BD.

Tích nha☺

a) Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔADC có

H là trung điểm của AD(gt)

G là trung điểm của CD(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//EF và HG=EF

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB(gt)

H là trung điểm của AD(gt)

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: EH//BD(cmt)

BD⊥AC(gt)

Do đó: EH⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: HG//AC(cmt)

EH⊥AC(Cmt)

Do đó: HG⊥HE(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

hay \(\widehat{EHG}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có 

HG//EF(cmt)

HG=FE(cmt)

Do đó: EHGF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành EHGF có \(\widehat{EHG}=90^0\)(cmt)

nên EHGF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: EFGH là hình chữ nhật(cmt)

nên \(S_{EFGH}=EF\cdot EH\)

\(\Leftrightarrow S_{EFGH}=\dfrac{AC}{2}\cdot\dfrac{BD}{2}=\dfrac{10}{2}\cdot\dfrac{8}{2}=5\cdot4=20cm^2\)

Vậy: Diện tích tứ giác EFGH khi AC=10cm và BD=8cm là 20cm²

c) Hình chữ nhật EFGH trở thành hình vuông khi EH=HG

hay AC=BD

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC=BD thì EFGH trở thành hình vuông