a: Xét ΔHDA vuông tại H và ΔADB vuông tại A có

góc HDA chung

Do đo: ΔHDA đồng dạng với ΔADB

=>DA/DA=DA/DB(2)

b: Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(DA^2=DH\cdot DB\)

c: Xét ΔDHA có DM là phân giác

nên HM/AM=DH/DA(1)

Xét ΔDAB có DK là đường phân giác

nên AK/BK=DA/DB(3)

Từ (1), (2)và (3) suy ra HM/AM=AK/BK

hay \(HM\cdot BK=AK\cdot AM\)

:v

d) +)CM EF // DB

Gọi I là giao điểm của EF và AP

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật và O là giao điểm của AC và BD nên AO = OB

Suy ra \(\Delta AOB\) cân tại O

=> \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\) (1)

Vì tứ giác AEPF là hình chữ nhật và I là giao điểm của AP và EF nên AI = IE

Suy ra \(\Delta AIE\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{AEI}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{OBA}=\widehat{AEI}\) mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị nên EF // BD

+) CM A, Q ,O thẳng hàng

Vì FE // DB \(\Rightarrow\Delta EQF\sim\Delta DQB\Rightarrow\frac{EF}{BD}=\frac{EQ}{QD}\Rightarrow \frac{2EI}{2DO}=\frac{EQ}{QD}\)

Xét \(\Delta EQI \) và \(\Delta DQO\) có :

\(\widehat{FED}=\widehat{EDB}\)

\(\frac{EI}{DO}=\frac{EQ}{QD}\)

\(\Rightarrow\Delta EQI\sim\Delta DQO\)

\(\Rightarrow\widehat{EQI}=\widehat{DQO}\)

mà \(\widehat{IQE}+\widehat{IQD}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DQO}+\widehat{IQD}=180^ohayI,Q,O\) thẳng hàng hay A, Q, O thẳng hàng

Phần a), b) ; c) bạn tự làm nha

a) Vì AH \(\perp\) BD (gt), ABCD là hình chữ nhật (gt)

=> \(\widehat{AHD}=\widehat{DAB}\) = 90^o (ĐN 2 đt \(\perp\) và ĐN HCN)

Xét \(\Delta\)HAD và \(\Delta\)ABD có:

\(\widehat{AHD}=\widehat{DAB}\) (cmt)

\(\widehat{D}\): chung

=> \(\Delta\)HAD ~ \(\Delta\)ABD (g.g)

=> \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)

Ta có: DK là tia phân giác của 2 \(\Delta\)ADB và \(\Delta\)ADH

=> \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{DB};\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{DH}{AD}\) (t/c đường p/g \(\Delta\))

mà \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\) (cmt)

=> \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{HM}{AM}\)

=> AK . AM = HM . BK (t/c TLT)

b) Xét \(\Delta\)ABC có: EP // BC (EP // AF, BC // AD)

=> \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{EP}{BC}=\dfrac{AD}{AC}\) (hệ quả ĐL Ta-lét) (1)

Xét \(\Delta\)ADC có: FP // DC (AE // FP, AB // CD)

=> \(\dfrac{AF}{FP}=\dfrac{AD}{DC}\) (hệ quả ĐL Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\)

=> EF // BD (ĐL Ta-lét đảo)

=> \(\widehat{FMQ}=\widehat{QDB}\) (2 góc so le trong)

Gọi giao điểm của AO và EF là I

mà AEPF là hình chữ nhật (gt)

=> I là trung điểm AP, EF (t/c HCN)

Xét \(\Delta\)EFQ có: EF // BD (cmt)

=> \(\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{EQ}{DQ}\) (hệ quả ĐL Ta-lét)

mà \(\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{EI}{DQ}\) (EF = 2EI, BD = 2DO)

=> \(\dfrac{EQ}{DQ}=\dfrac{EI}{DO}\)

Xét \(\Delta\)IQE và \(\Delta\)OQD có:

\(\widehat{FMQ}=\widehat{QDB}\) (cmt)

\(\dfrac{EQ}{DQ}=\dfrac{EI}{DO}\) (cmt)

=> \(\Delta\)IQE ~ \(\Delta\)OQD (c.g.c)

=> \(\widehat{IQE}=\widehat{OQD}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)

mà \(\widehat{DQO}+\widehat{OQE}=180^o\) (2 góc kề bù)

do đó \(\widehat{IQE}+\widehat{OQE}=180^o\)

=> I, O, Q thẳng hàng

hay A, O, Q thẳng hàng

*hình mình thiếu điểm O, bạn tự thêm vào nhé*

nhìn hình rối quá t laonj nhịp @@

xét tam giác ABC:

EP//BC (cùng // AD)

=> AP/AC=AE/AB (talet) (1)

xét tam giác ADC:

PF//DC (cùng //AB)

=> AF/AD=AP/AC (talet) (1)

từ (1) (2) => AE/AB=AF/AD

xét tam giác ABD có:

AF/AD=AE/AB (cmt)

=> EF//BD (talet đảo)

xét tam giác QFE và QBD:

EQF=BQD (đối đỉnh)

QBD=EFQ (so le trong)

=> đồng dạng

=> EF/BD=EQ/QD => 2EI/2OD=EQ/QD

chứng minh tam giác EQI đồng dạng DQO vì có 2 góc đối đỉnh và 2 góc so le trong

=> góc EQI=DQO

=> I, Q, O thẳng hàng

mà A là trung điểm của AP (AEPF là hcn)

=> I, A thằng hàng

=> A, Q, O thẳng hàng