a) Xét tam giác  ADB có: 

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow HE//DB\left(1\right)\)( định lý Ta-let đảo )

Xét tam giác CDB có:

\(\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow GF//BD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HE//GF\)

CMTT\(HG//EF\)( cùng // AC)

Xét tứ giác EFGH có:

\(\hept{\begin{cases}HE//GF\left(cmt\right)\\HG//EF\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow EFGH}\)là hình bình hành (dhnb)

b) 

Đặt\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=k\)

Xét tam giác ADB có:

\(HE//BD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=k\)( vì \(\frac{AE}{AB}=k\))

\(\Rightarrow HE=k.BD\)

Xét tam giác ABC có:

\(EF//AC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{AB-AE}{BA}=1-k\)

\(\Rightarrow EF=\left(1-k\right)AC\)

\(P_{EFGH}=2\left(HE+EF\right)\)

\(=2\left[k.BD+\left(1-k\right)AC\right]\)

\(=2AC\)không đổi  ( AC=BD do ABCD là hình chữ nhật )

Vậy chu vi của hbh EFGH có giá trị không đổi 

bạn bảo châu ơi

AE//CG, AE = CG nên AECG là hình bình hành ⇒ O là trung điểm của EG. Tương tự O là trung điểm của HF.

Từ các hệ Thức trên ta dễ dàng có HE//BD//FG(1)

Suy ra \(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=\frac{HE}{BD}=\frac{FG}{BD}=k\Rightarrow HE=FG\)(2)

Từ (1) và (2) có ĐPCM

b/Ta cx dễ dàng chứng minh đc \(\frac{EG}{AC}=\frac{HF}{AC}=\)\(\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AB}-\frac{AE}{AB}=1-k\)

Ta thấy HE,FG tỉ lệ thuận BD =k

EG,HF tỉ lệ thuận AC =1-k

Mà AC,BD cố định suy ra Các cạnh của HBH cố định, suy ra Chu vi cx cố định

a: AE=EB=AB/2

CG=GD=CD/2

mà AB=CD

nên AE=EB=CG=GD

AH=HD=AD/2

BF=FC=BC/2

mà AD=BC

nên AH=HD=BF=FC

b: Xét ΔAHE và ΔCFG có

AH=CF

góc A=góc C

AE=CG

=>ΔAHE=ΔCFG

c: Xét ΔEBF và ΔGDH có

EB=GD

góc B=góc D

BF=DH

=>ΔEBF=ΔGDH

=>GH=EF

d: Xét tứ giác EHGF có

EH=FG

EF=GH

=>EHGF là hình bình hành

Xét \(\Delta ADB\):

\(AE=EB\left(gt\right)\)

\(HD=HA\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow HE\)là đường trung binh cũa \(\Delta ADB\).

\(\Rightarrow HE\)//\(DB\)và \(HE=\frac{1}{2}DB\left(1\right)\)

Xét \(\Delta CDB:\)

\(FB=FC\left(gt\right)\)

\(GC=GD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow GF\) là dường trung bình của \(\Delta CBD\).

\(\Rightarrow GF\)//\(DB\)và \(GF=\frac{1}{2}DB\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\)\(HE\)//\(GF\)và \(HE=GF\)

Vậy tứ giác \(EFGH\)là hình bình hành.

b) Xét \(\Delta AEH\)và \(\Delta EBF\):

\(AE=EB\left(gt\right)\)

Góc A = Góc B = 90^o (ABCD là hình chữ nhật)

\(AD=BC\Rightarrow\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC\Rightarrow AH=BF\)

\(\Rightarrow\Delta AEH=\Delta EBF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow HE=HF\)

mà tứ giác EFGH là hình bình hành.

Vậy hình bình hành \(EFGH\)là hình thoi.

Ta cm theo qui tắc đường trung bình của tam giác là ra ngay 
Ta có E là trung điểm của AB,F là trung điểm của BC>>>EF=1/2AC.tuơng tự HG=1/2 AC>>>EF=HG 
CM ttự với cặp còn lại là ra thôi

Câu 12. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

Câu 12. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.     B. Hình thoi.      C. Hình bình hành.            D. Hình vuông.

Câu 13. Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 4cm.                B. 7 cm.         C. 14cm.               D. 8cm.

Câu 14. Cho hình vuông có chu vi 32 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 10cm.          B. 15cm.             C. 5cm.            D. 8 cm

a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)

BE = DG (gt)

⇒ AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)

Xét ΔAHE và ΔCFG có:

AE = CG

∠HAE = ∠FCG (cùng bù với ∠BAD = ∠DCB ),

AH = CF (gt)

Do đó ΔAHE = ΔCFG (c.g.c) ⇒ HE = FG

Chứng minh tương tự ta có HG = EF

Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).

b) Nối E và G.

Xét ΔOBE và ΔODG có

BE = DG (gt),

∠OBE = ∠ODG (so le trong),

OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)

⇒ ΔOBE = ΔODG (c.g.c) ⇒ ∠OBE = ∠ODG

Mà ∠DOG + ∠GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.

Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.

c) Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔ HE = EF

⇔ Hình thoi ABCD có 1 góc vuông

⇔ ABCD là hình vuông.

Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.