Chọn A

Đáp án A

Chọn B

* Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

Ta có: 

Áp dụng định lí Ta-lét đảo, ta có AD, MN, BD' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.

=> M song song với mặt phẳng (P) chứa BD' và song song với AD.

Nên MN//(BCD'A') hay MN//(A'BC)

* Sử dụng định lí Ta-lét.

* Sử dụng định lí Ta-lét.

Vì AD//A'D'  nên tồn tại (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp (A'D'CB)

(Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp (A'D'CB). Giả sử (Q) cắt DB tại N

Theo định lí Ta-lét ta có: 

Mà các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD' = DB = a 2

Từ (*), ta có: AM = DN' => DN' = DN

(Q)//(A'D'CB) suy ra  luôn song song với mặt phẳng cố định (A'D'CB) hay (A'BC)

Milk lộn toán hình nhé!

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.Ta\; chọn\; hệ\; toạ\; độ\; Oxyz\; có\; gốc\; là\; đỉnh\; A,\; tia\; Ox\; chứa\; AB,\; tia\; Oy\; chứa\; AD\; và\; tia\; Oz\; chứa\; AA’\; (h.105).$

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.$

Đáp án C.

Gọi \(M\left(x_1,1-\frac{1}{x_1-1}\right);N\left(x_2,1-\frac{1}{x_2-1}\right)\)

Theo yêu cầu <=> \(\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AM}\)

\(\begin{cases}x_2=2-2x_1\\-\frac{1}{3}-\frac{1}{x_2-1}=2\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{x_1-1}\right)\end{cases}\)

M(0,2) ; N(2,0)

d:y=2-x