Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(ABC\) đều

\( \Rightarrow AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)

Thể tích:\(V=a^2.3a=3a^3\)

\(\Rightarrow B\)

Đáp án C

Thiết diện cần tìm là hình vuông MNPQ

Đáp án A

Giả sử cạnh của hình lập phương là a. Khi đó  AB' = x 2 . Xét tam giác vuông AB’C’ vuông tại B’ ta có .

Do đó  

Diện tích mặt đáy là:\(\dfrac{a^2.\sqrt{3}}{4}\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(a.\dfrac{a^2.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3.\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow A\)

Chọn A

Chọn C

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp SO\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Từ O kẻ \(OH\perp SA\) (H thuộc SA)

Do \(OH\in\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp OH\)

\(\Rightarrow OH\) là đường vuông góc chung BD và SA hay \(OH=d\left(BD;SA\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta SAO\) vuông cân tại O

\(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a}{2}\)

Đáp án C.