- Hình vẽ:

a) - Xét △EDM có:

AB//DM (ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD).

=>\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{AB}{DM}\) (định lí Ta-let) (1).

- Xét △FCM có:

AB//CM (ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD).

=>\(\dfrac{BF}{MF}=\dfrac{AB}{CM}\) (định lí Ta-let) (2).

- Từ (1) và (2) và \(CM=DM\) (M là trung điểm BC) suy ra:

\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BF}{MF}\).

- Xét △ABM có:

\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BF}{MF}\) (cmt)

=>\(EF\)//\(AB\) (định lí Ta-let đảo)nên\(EF\)//\(AB\)//\(CD\)

b) -Xét △ADM có: 

HE//DM (cmt).

=>\(\dfrac{HE}{DM}=\dfrac{AE}{AM}\) (định lí Ta-let). (3)

- Xét △ACM có:

EF//CM (cmt)

=>\(\dfrac{EF}{CM}=\dfrac{AE}{AM}\) (định lí Ta-let) (4)

- Từ (3) và (4) và \(DM=CM\) (M là trung điểm BC) suy ra: \(HE=EF\)

-Xét △BDM có: 

EF//DM (cmt).

=>\(\dfrac{EF}{DM}=\dfrac{BF}{BM}\)(định lí Ta-let). (5)

- Xét △BCM có:

NF//CM (cmt)

=>\(\dfrac{NF}{CM}=\dfrac{BF}{BM}\) (định lí Ta-let) (6)

- Từ (5) và (6) và \(CM=DM\) (M là trung điểm BC) suy ra: \(NF=EF\)

Mà ​\(HE=EF\) nên \(HE=EF=NF=\dfrac{1}{3}HN\).

c) -Ta có: ​\(\dfrac{HE}{DM}=\dfrac{AE}{AM}\) (cmt)

=>​\(\dfrac{DM}{HE}=\dfrac{AM}{AE}\).

=>\(\dfrac{DM}{HE}-1=\dfrac{EM}{AE}\) (7)

- Ta có: \(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{AB}{DM}\) nên ​\(\dfrac{EM}{AE}=\dfrac{DM}{AB}\). (8)

- Từ (7) và (8) suy ra:

\(\dfrac{DM}{HE}-1=\dfrac{DM}{AB}\)

=>\(\dfrac{DM}{HE}=\dfrac{DM}{AB}+1=\dfrac{DM+AB}{AB}\)

=>\(HE=\dfrac{AB.DM}{AB+DM}=\dfrac{7,5.\left(12.\dfrac{1}{2}\right)}{7,5+\left(12.\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{10}{3}\)

=>\(HN=3HE=3.\dfrac{10}{3}=10\) (cm).

​​​​

Gọi  \(N\)  là trung điểm của đoạn thắng  \(AB\)  \(;\)  \(N'\)  là giao điểm của \(GM\)  và \(AB\)

Tứ giác  \(ABCD\)  là hình thang nên  \(AB\text{//}CD\)

Khi đó, 

\(\Delta GMD\)  có  \(AN'\text{//}MD\), nên \(\frac{AN'}{MD}=\frac{GN'}{GM}\) (hệ quả của định lý Ta-lét) \(\left(3\right)\)

\(\Delta GMC\)  có  \(N'B\text{//}MC\), nên \(\frac{N'B}{MC}=\frac{GN'}{GM}\)  \(\left(4\right)\)

\(\left(3\right);\)  \(\left(4\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{AN'}{MD}=\frac{N'B}{MC}\)  \(\left(=\frac{GN'}{GM}\right)\)

Mà  \(MD=MC\)  \(\left(gt\right)\), do đó, \(AN'=N'B\)  hay  \(N'\)  phải trùng với  \(N\)

Tức là ba điểm \(G,\)  \(N,\)  \(M\)  thẳng hàng  \(\left(\text{*}\right)\)  

Tương tự, ta cũng chứng minh được ba điểm   \(N,\)  \(O,\)  \(M\)  thẳng hàng  \(\left(\text{**}\right)\)  

Từ  \(\left(\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{**}\right)\)  suy ra bốn điểm   \(G,\)  \(N,\)  \(O,\)  \(M\)  thẳng hàng

Vậy, đoạn thẳng \(GO\)  sẽ lần lượt đi qua  \(N\)  và  \(M\)  hay đi qua trung điểm của  \(AB\)  và  \(CD\)

Đặt AB = m, MC = MD = n.

a) Do AB // CD, ta có :

\(\frac{MI}{TA}=\frac{MD}{AB}=\frac{n}{m}\)

\(\frac{MK}{KB}=\frac{MC}{AB}=\frac{n}{m}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{MI}{IA}=\frac{MK}{KB}\) Từ đó theo định lí đảo của định lí Ta - lét đối với tam giác MAB, ta có IK // AB. ( nhưng lớp 8 chưa học ta -lét thì fai )

http://olm.vn/hoi-dap/question/403903.html

http://olm.vn/hoi-dap/tag/Toan-lop-8.html

a: Xét ΔEAB và ΔEMD có

góc EAB=góc EMD

góc AEB=góc MED

=>ΔEAB đồng dạng vơi ΔEMD

=>EM/EA=AB/MD=AB/MC

Xet ΔFAB và ΔFCM có

góc FAB=góc FCM

góc AFB=góc CFM

Do đó: ΔFAB đồng dạng với ΔFCM

=>FB/FM=AB/CM

=>FM/FB=CM/AB=DM/AB=ME/EA

=>EF//AB

b: Xet ΔBMC có FN//MC

nên FN/MC=BN/BC

=>FN/MD=AH/AD

Xét ΔADM có HE//DM

nên HE/DM=AH/AD

Xét ΔBDC có EN//DC

nên EN/DC=BN/BC=AH/AD

=>(EF+FN)/(2DM)=AH/AD=HE/DM=FN/MD

=>(EF+FN)/2=HE=FN

=>EF+FN=2FN

=>FN=EF=HE