a)

Tam giác DAB có IO // AB nên

\(\frac{IO}{AB}=\frac{DI}{DA}\) (hệ quả của định lý Talet)

Tam giác ACD có OI // CD nên

\(\frac{OI}{CD}=\frac{AI}{AD}\) (hệ quả của định lý Talet)

Ta có: \(\frac{IO}{AB}+\frac{OI}{CD}=\frac{DI}{DA}+\frac{AI}{AD}=\frac{DI+AI}{DA}=\frac{DA}{DA}=1\)

=> \(OI\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=1\)

=> \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OI}\)

b)

Tam giác CAB có OK // AB nên

\(\frac{OK}{AB}=\frac{CK}{CB}\) (hệ quả của định lý Talet)

mà \(\frac{CK}{CB}=\frac{DI}{DA}\)

=> \(\frac{OK}{AB}=\frac{DI}{DA}\)

mà \(\frac{DI}{DA}=\frac{OI}{AB}\) (chứng minh trên)

=> \(\frac{OK}{AB}=\frac{OI}{AB}\)

=> OK = OI

mà \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OI}\)

=> \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OK}\)

c)

O là trung điểm của IK (OK = OI)

=> IK = 2OK

Ta có: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OK}\)

=> \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{2OK}\)

=> \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{IK}\)

Phương Linh P/s: Bạn có thể áp dụng định lý đã được chứng minh ở bài 19 SGK Toán 8 tập 2 trang 68.

a) Xét ΔOIC và ΔABC có:

   \(\widehat{ACB}\) : góc chung

   \(\widehat{OIC}=\widehat{ABC}\) (đồng vị do JI//AB(gt))

 => ΔOIC~ΔABC(g.g)

=>\(\frac{OI}{AB}=\frac{CI}{BC}\)

=> BC.OI=AB.CI

b) Theo định lý đảo của định lý ta-let vào ΔBDC :

=>  \(\frac{OI}{DC}=\frac{BI}{BC}\)

BẠN DÙNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT ĐỂ C/M OM=ON

Vì OM // AB & OM // CD nên 

\(\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{AD}\&\frac{OM}{CD}=\frac{AM}{AD}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{DM}{AD}+\frac{AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow OM\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{DM+AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OM}\)(1)

TƯƠNG TỰ \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CB}=\frac{1}{ON}\)(2)

CỘNG VẾ VỚI VẾ CỦA (1) VÀ (2) TA CÓ:

\(2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)MÀ OM=ON(C/M TRÊN) NÊN MN=2.OM

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{OM}=\frac{2}{OM}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{2.OM}=\frac{2}{MN}\left(ĐPCM\right)\)

Mình mới học lớp 5 thôi nên chỉ vẽ hình thôi à! Thông cảm nha!

Hình như sau:

Thấy đúng thì !

Hình vẽ :

Em tham khảo nha.

Coi AB = 1, DC = k thì \(\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}=k\Rightarrow\frac{DO}{DB}=\frac{k}{k+1}\)

\(\Rightarrow OE=OF=\frac{k}{k+1}\Rightarrow EF=\frac{2k}{k+1}\)

Ta có \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{1}+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}\)

\(\frac{2}{EF}=\frac{2}{\frac{2k}{k+1}}=\frac{k+1}{k}\)

Vậy nên \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{EF}\)

đề bài: cho hình thanh ABCD (AB//CD). Gọi I là giao điểm của 2 đg chéo AC và BD. Vẽ qua I đường thẳng song song với AB và BC, cắt AD, BC lần lượt tại E,F. chứng minh:

....

bn tự kẻ hình nha :)

a) Xét tg ACD, có: EI // DC

\(\Rightarrow\frac{EI}{DC}=\frac{AI}{AC}\)(1)

Xét tg BCD, có: FI // DC
\(\Rightarrow\frac{FI}{DC}=\frac{IB}{BD}\)(2)

Xét tg ABI, có: AB // CD
\(\Rightarrow\frac{AI}{AC}=\frac{IB}{BD}\) (3)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{IE}{DC}=\frac{IF}{DC}\Rightarrow IE=IF\)

b) Xét tg ACD, EI // DC
=> EI/DC = AE/ AD (1)

Xét tg ADB, EI // AB

=> EI/AB = DE/AD (2)

Từ (1);(2) => \(\frac{EI}{DC}+\frac{EI}{AB}=\frac{AE}{AD}+\frac{DE}{AD}=1\)

\(\Rightarrow EI.\left(\frac{1}{DC}+\frac{1}{AB}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{EI}=\frac{1}{DC}+\frac{1}{AB}\)

cmtt, t/có: \(\frac{1}{FI}=\frac{1}{DC}+\frac{1}{AB}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{EI}=\frac{1}{FI}=\frac{1+1}{EI+FI}=\frac{2}{EF}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\)