a:

Ta có: AD//BC

P\(\in\)AD

Do đó: AP//BC

Ta có:BA\(\perp\)AD

P\(\in\)AD

Do đó: BA\(\perp\)PD tại A

Xét ΔMAP vuông tại A và ΔMBC vuông tại B có

MA=MB

\(\widehat{AMP}=\widehat{BMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAP=ΔMBC

=>AP=BC

Xét tứ giác APBC có

AP//BC

AP=BC

Do đó: APBC là hình bình hành

Xét tứ giác BCDP có BC//DP

nên BCDP là hình thang

Hình thang BCDP có BC\(\perp\)CD

nên BCDP là hình thang vuông

b: Vì BCDP là hình thang vuông

nên \(S_{BCDP}=\dfrac{1}{2}\left(BC+DP\right)\cdot DC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\left(BC+DA+AP\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(DC+DC+BC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(2DC+DC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3DC^2=\dfrac{3}{2}\cdot DC^2\)

Vì AP=BC

mà BC=AD

nên AP=AD

=>A là trung điểm của PD

\(S_{BPAC}=S_{PAB}+S_{ABC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot AP\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB=BC\cdot AB=AB^2=DC^2\)

=>\(S_{BCDP}=\dfrac{3}{2}\cdot S_{BPAC}\)

=>\(2\cdot S_{BCDP}=3\cdot S_{BPAC}\)

Chứng minh DN vuông góc với CM ,sử dụng tính chất đường trung tuyếncủa tam giác vuông ứng với cạnh huyền suy ra AQ = AD ,mà AD=AB nên suy ra AQ=AB

a. Xét ΔADM và ΔBCM, có:
^MAD = ^MBC (gt)
AM = BM (gt)
^AMD = ^BMC (đối đỉnh)
=> ΔADM = ΔBCM (c.g.c)
=> MC = MD (2 cạnh tương ứng)
mà MA = MB (gt)
=> Tứ giác ABCD là HBH
Lại có:
DP // BC (DA // BC)
^D = ^DCB (gt)
=> DPCD là hình thang vuông  

Ta có:
S BCDP = S ABP + S ABC + S ADC và S APBC = S ABP + S ABC
Mà ΔABP = ΔBAC = ΔDCA
=> S ABP = S ABC = S ACD
Do đó:
S BCDP = 3S ABP và S APBC = 2S ABP
⇒ S APBC / S BCDP = 2S ABP / 3S ABP = 3/2
Vậy 2S BCDP = 3S APBC

Giải thích các bước giải:

a)Ta có: \(\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}\) (2 góc đổi đỉnh)
\(\Rightarrow \Delta AMP=\Delta BMC (g.c.g)\Rightarrow MP=MC\)
Xét tứ giác APBC có AB và CP là 2 đường chéo nhau tại trung điểm mỗi đường nên APBC là hình bình hành.
Vì APBC là hình bình hành nên \(BC\parallel AP\Rightarrow BC\parallel DP\)mà \(BC\perp CD\)
\(\Rightarrow BCDP\) là hình thang vuông (Điều phải chứng minh).
b)

Nhận xét: \(S_{ADC}=S_{ABC}=S_{ABP}\) và đặt \(S_{ADC}=S_{ABC}=S_{ABP}=a\)

Khi đó: \(2S_{BCDP}=2.3a=6a;3S_{APBC}=3.2a=6a\)

Suy ra đpcm.

c) Vì M là trung điểm của AB nên \(BM=\frac{1}{2}AB\)
Vì N là trung điểm của BC nên \(CN=\frac{1}{2}BC\)
mà \(AB=BC\Rightarrow BM=CN\Rightarrow \Delta CBM=\Delta DCN (c.g.c)\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}\)
mà tam giác DCN vuông tại C nên \(\widehat{D_{1}}+\widehat{N_{1}}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{C_{1}}+\widehat{N_{1}}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{CQN}=90^{\circ} \) 
\(\Rightarrow \Delta PDQ \) vuông tại Q.
Xét tam giác PDQ vuông tại Q, có QA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
\(\Rightarrow QA=\frac{1}{2}PD=AD\)
mà \(AD=AB\Rightarrow AQ=AB\) (Điều phải chứng minh).

Ai tick mik thêm 3 cái nữa cho tròn 210 điểm hỏi đáp với

b. Chứng minh:  \(2S_{BCDP}=3S_{APBC}\)

Ta có:

\(S_{BCDP}=S_{ABP}+S_{ABC}+S_{ADC}\) và  \(S_{APBC}=S_{ABP}+S_{ABC}\)

Mà  \(\Delta ABP=\Delta BAC=\Delta DCA\)  nên  \(S_{ABP}=S_{ABC}=S_{ACD}\)

Do đó:

\(S_{BCDP}=3S_{ABP}\) và  \(S_{APBC}=2S_{ABP}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{S_{BCDP}}{S_{APBC}}=\frac{3S_{ABP}}{2S_{ABP}}=\frac{3}{2}\)

Vậy,  \(2S_{BCDP}=3S_{APBC}\)