Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=4`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị 
Bài này hơi phức tạp xíu 

Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=16`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị 
Bài này hơi phức tạp xíu 

Bài này sửa đề thành \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\) thì mới chặt chẽ để có thể giải được

Khi đó \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh: \(\sqrt{7a+9}\ge a+3\)

\(\Leftrightarrow7a+9\ge a^2+6a+9\)\(\Leftrightarrow a\ge a^2\) (luôn đúng)

Tương tự chứng minh được:

\(\sqrt{7b+9}\ge b+3\) và \(\sqrt{7c+9}\ge c+3\)

Khi đó:

\(S=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=1+9=10\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng

Bài 2:

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)

=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2

=>x=1/4; y=-2

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

=>y=6 và x-2=5/4

=>x=13/4; y=6

c: =>x+y=24 và 3x+y=78

=>-2x=-54 và x+y=24

=>x=27; y=-3

d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)

=>y+2=1 và x-1=25

=>x=26; y=-1

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-1\\x-y=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=-6\\x-y=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy..............................................................................

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{5}{x}-\frac{6}{y}=3\\\frac{4}{x}+\frac{9}{y}=7\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ: x,y≠0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{20}{x}-\frac{24}{y}=12\\\frac{20}{x}+\frac{45}{y}=35\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{69}{y}=23\\\frac{20}{x}+\frac{45}{y}=35\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=10\end{matrix}\right.\)

Vậy...................................................................................

c) \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}=-2\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ:\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\sqrt{x+1}\)\(=-1\)(vô nghiệm)

Vậy hệ pt vô nghiệm

d) Nhân 3 pt đầu rồi thu gọn

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1^2}{\sqrt{a}}+\frac{2^2}{\sqrt{b}}+\frac{3^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{36}{6}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{b}}=\frac{3}{\sqrt{c}}\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=1\\\sqrt{b}=2\\\sqrt{c}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\\c=9\end{matrix}\right.\)

3 g) \(xyz=x+y+z+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.

Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)

\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)

3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)

\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)

\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

deo bit lam