* Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA

Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.

Ta có AM và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của mặt cầu nên:

AM = AI ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

* Tương tự có BM = BI.

* Xét hai tam giác AMB và tam giác AIB có:

AM = AI

BM = BI

AB chung

Suy ra: ∆ AMB = ∆ AIB ( c.c.c)

Tam giác ADC vuông tại A nên AD 2 = DC 2 - AC 2  (1)

Tam giác ABC vuông tại A nên BC 2 = AC 2 + AB 2  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra AD 2 + BC 2 = DC 2 + AB 2  (3)

Ta lại có:

AC 2 = DC 2 - AD 2 và BD 2 = AD 2 + AB 2  (4)

DC 2 = 4 r 2 - h 2 ,   AB 2 = 4 h 2  (5)

Từ (4) và (5) ta có:

AC 2 + BD 2 = DC 2 + AB 2 = 4 r 2 - h 2 + 4 h 2 = 4 r 2  (6)

Từ (3) và (6) ta có:  AD 2 + BC 2  =  AC 2 + BD 2  (không đổi)

a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có góc chung nên hai tam giác đó đồng dạng.

Vì vậy: => MA.MB = MC.MD.

b) Đặt MO = d, ta có Oi vuông góc với (P) và ta có:

MO²= MI² = OI² và OA² = OI² + IA²

Hạ IH vuông góc AB, ta có H là trung điểm của AB.

Ta có MA = MH - HA; MB = MH + HB = MH + HA.

Nên MA.MB =

MH² – HA² = (MH² + HI²) – (HA² + IH²)

= MI² – IA² = ( MI² + OI²) – (IA² + OI²)

= MO² – OẢ²

= d² – r²

Vậy MA.MB = d² – r²

Đáp án là A

* Gọi J là tâm mặt cầu qua đường tròn tâm O và điểm S => J nằm trên đường trung trực của AB và SA

*Tam giác SIA vuông tại I.

*Ta có: Góc N và S bằng nhau vì cùng phụ với góc  S A N ^

* Tam giác AKN vuông tại K

*  Tam giác OJN vuông tại O

* Tam giác AOJ vuông tại O

Cách 2

Gắn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A, B, O thuộc tia Ox, S thuộc tia Oy và giả sử a = 1.

Khi đó A(1;0), B(3;0), S(0;2)

là đường tròn tâm J qua 3 điểm  A, S, B

Suy ra: 

Chọn A

- Nếu H nằm ở nửa dưới đoạn SO thì \(R\ge\dfrac{SO}{2}=\dfrac{3}{2}\)

- Nếu H nằm ở nửa trên đoạn SO, thực hiện mặt cắt qua trục nón như hình vẽ

\(SO=OA=3\Rightarrow SOA\) vuông cân \(\Rightarrow SCH\) vuông cân

\(\Rightarrow CH=SH=3-OH=3-\left(R+IH\right)=3-R-\sqrt{R^2-CH^2}\)

\(\Rightarrow3-R=CH+\sqrt{R^2-CH^2}\le\sqrt{2\left(CH^2+R^2-CH^2\right)}=R\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow R\left(\sqrt{2}+1\right)\ge3\Rightarrow R\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}+1}=3\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(V_{min}=\dfrac{4}{3}\pi R_{min}^3=8,037\)