1) Ta có: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)+ \(3xyz\)

Mà x+y+z=0

=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

( ko thể = 3xy²)

2)  Ta có: \(A=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\) 

                    = \(\left(n+1\right)\left(n+4\right)\cdot\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

                     = \(\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\)

Đặt t= \(n^2+5n+5\)

=> A= \(\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\) là 1 số chính phương.

Ta có : \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\) \(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)=x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{xy+xz}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{xy+yz}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{zx+zy}{x+y}\)\(=x+y+z\)

\(\Rightarrow P+\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}=x+y+z\)

\(\Rightarrow P+x+y+z=x+y+z\Rightarrow P=0\)

Vậy P = 0

Đề  sai rồi nếu là vầy thì mình làm dc    x+y+z=1 và x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1.Tính x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)+?

Đặt A=x^4+y^4+z^4 ,P=x^2+y^2+z^2

Ta có A=(x^2)^2+(y^2)^2+(z^2)^2

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có

3A=[(x^2)^2+(y^2)^2+(z^2)^2](1^2+1^2+1^2) >/ (x^2+y^2+z^2)^2=> A >/ (x^2+y^2+z^2)^2/3

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz lần 2 

3P=(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2) >/ (x+y+z)^2=> P >/  (x+y+z)^2/3 >/ 2^2/3 >/ 4/3 

=> A >/ (4/3)^2/3=16/27

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=2/3

còn cách làm khác không ạ?