Đặt n = 2k , ta có                      ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)

\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)

\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)

\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)

\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)  là 3 số tự nhiên liên tiếp nên 

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3

Suy ra điều cần chứng minh

câu 1:

a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:

2k(2k+2) = 4k²+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2

b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z

• a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số chẵn hoặc có 2 số chẵn nên tích của chúng sẽ chia hết cho 2.

mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.

vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z

• vì là 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ tồn tại 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý a tích của chúng choa hết cho 8.
• tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
• tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.

vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.

câu 2:

a, a³ + 11a = a[(a² - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a

• (a - 1)a(a+1) chia hết cho 6 ( theo ý b câu 1)
• 12a chia hết cho 6.

vậy a³ + 11a chia hết cho 6.

b, ta có a³ - a = a(a² - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1) 

mn(m²-n²) = m³n - mn³ = m³n - mn + mn - mn³ = n( m³ - m) - m(n³ -n)

theo (1) mn(m²-n²) chia hết cho 3.

c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)

Bài 1: Ta có: xy-5x+y=9

\(\Leftrightarrow\) xy-5x+y-5=9-5

\(\Leftrightarrow\) x(y-5)+y-5=4

\(\Leftrightarrow\) x(y-5) +(y-5)=4

\(\Leftrightarrow\) (x+1)(y-5)=4=2.2=1.4=-1.-4=-2.-2

*Với (x+1) và (y-5) là các số nguyên dương, ta có:
\(\left[{}\begin{matrix}x+1=2;y-5=2\\x+1=1;y-5=4\\x+1=4;y-5=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=2-1=1;y=2+5=7\\x=1-1=0;y=4+5=9\\x=4-1=3;y=1+5=6\end{matrix}\right.\)

*Với (x+1) và (y-5) là các số nguyên âm, ta có:

\(\left[{}\begin{matrix}x+1=-2;y-5=-2\\x+1=-1;y-5=-4\\x+1=-4;y-5=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2-1=-3;y=-2+5=3\\x=-1-1=-2;y=-4+5=1\\x=-4-1=-5;y=-1+5=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x;y)=(1;7) (0;9) (3;6) (-3;3) (-2;1) (-5;4)

Bài 2:

a: =>3n-3+8 chia hết cho n-1

=>\(n-1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\}\)

=>\(n\in\left\{2;0;3;-1;5;-3;9;-7\right\}\)

b: =>n^2+n-4n-4+4 chia hết cho n+1

=>\(n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-2;1;-3;3;-5\right\}\)

c: \(A=n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Vì n;n+1 là hai số liên tiếp

nên n(n+1) chia hết cho 2

=>A ko chia hết cho 2

=>A ko chia hết cho 100

a; (n + 10)(n + 15)

+ Nếu n là số chẵn ta có: n + 10 ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2

+ Nếu n là số lẻ ta có: n + 15 là số chẵn 

⇒ (n + 15) ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 

Từ những lập luận trên ta có:

A = (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N