a)

+) Ta có: \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}\)

+) Đồng nhất hệ số với khai triển ở đề bài ta thấy: \({a_3} = \frac{{ - 5}}{4}\)

b)

+) Thay \(x = 1\) vào biểu thức khai triển ở đề bài, ta có: \({\left( {1 - \frac{1}{2}.1} \right)^5} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)

+) Vậy tổng :\({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)

Số tổ hợp con có x phần tử là số tổ hợp chập x của 5.

=> Số tổ hợp con có lẻ phần tử là: \(C_5^1 + C_5^3 + C_5^5=5+10+1=16\)

     Số tổ con có chẵn phần tử là: \(C_5^0 + C_5^2 + C_5^4=1+10+5=16\)

\( \Rightarrow C_5^0 + C_5^2 + C_5^4 = C_5^1 + C_5^3 + C_5^5\) (đpcm)

Đặt vế trái biểu thức là P

- Nếu một trong các số bằng 0 thì biểu thức vô nghĩa

- Nếu một trong các số bằng 1 thì vế trái lớn hơn 1 nên đẳng thức ko xảy ra

- Nếu tất cả các số đều lớn hơn 1, không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1< a_2< ...< a_n\)

\(\Rightarrow a_1\ge2;a_2\ge3;...;a_n\ge n+1\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_n^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow P< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow P< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}< 1\)

\(\Rightarrow\) Không thể tồn tại đẳng thức \(P=1\)

web wiki có cách cm vs quy nạp đó

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân – Wikipedia tiếng Việt