a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

hay ΔCOD vuông tại O

b: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=MO^2=R^2=AC\cdot BD\)

Kẻ OC và OD

a)Ta có: AC và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại C

=>CM=AC ⁽¹⁾  , OC là phân giác của ∠AOM ⇔ ∠AOC= ∠MOC

Lại có:  BD và MD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại D

=> BD=MD⁽²⁾  , OD là tia phân giác của ∠BOM ⇔ ∠BOD =∠MOD

Vì ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=∠AOB=180^O

Mà ∠AOC=∠COM, ∠MOD=∠DOB

Nên ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=180^o

   ⇔ 2∠COM+ 2∠MOD=180^o

   ^⇔  2(∠COM+ ∠MOD)=180^o

   ^⇔ ∠COM+ ∠MOD=\(\dfrac{180^0}{2}\)=90^o

Vì ∠COD=∠COM+ ∠MOD mà ∠COM+ ∠MOD=90^o nên ∠COD=90^o =>△COD là tam giác vuông⁽³⁾

Từ ⁽¹⁾,⁽²⁾ và⁽³⁾, suy ra:

Trong △COD,có:   CD=CM+MD =AC+BD

Vậy CD=AC+BD (đpcm)

b) Lấy I là trung điểm của CD (I ∈ CD) và kẻ OI

Ta có: △COD là tam giác vuông

 Và OI ứng với cạnh huyền CD=> IO=\(\dfrac{CD}{2}\)

=> IO=CI=ID ⁽¹⁾ 

Vì AC⊥AB⊥BD nên AC song song với BD

=> ACDB là hình thang vuông⁽¹⁾

Lại có: I là trung điểm của CD và O là trung điểm của AB

=>OI là đường trung bình của hình thang ACDB⁽²⁾

Từ (1) và (2),  suy ra: IO ⊥AB

=> AB là tiếp tuyến của đường tòn đường kính CD (đpcm)

bạn god rick giải dài nhưng chưa chắc là đúng

a) Xét tứ giác AOMC có

ˆCAOCAO^ và ˆCMOCMO^ là hai góc đối

ˆCAO+ˆCMO=1800(900+900=1800)CAO^+CMO^=1800(900+900=1800)

Do đó: AOMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Ta có: AOMC là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên ˆMAO=ˆOCMMAO^=OCM^(hai góc cùng nhìn cạnh OM)

hay ˆMAB=ˆOCDMAB^=OCD^

Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(Gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Gt)

Do đó: OC là tia phân giác của ˆAOMAOM^(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇔ˆAOM=2⋅ˆCOM⇔AOM^=2⋅COM^

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của ˆMOBMOB^(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇔ˆBOM=2⋅ˆMOD⇔BOM^=2⋅MOD^

Ta có: ˆAOM+ˆBOM=1800AOM^+BOM^=1800(hai góc kề bù) 

mà ˆAOM=2⋅ˆCOMAOM^=2⋅COM^(cmt)

và ˆBOM=2⋅ˆMODBOM^=2⋅MOD^(cmt)

nên 2⋅ˆCOM+2⋅ˆMOD=18002⋅COM^+2⋅MOD^=1800

⇔ˆCOM+ˆMOD=900⇔COM^+MOD^=900

mà ˆCOM+ˆMOD=ˆCODCOM^+MOD^=COD^(tia OM nằm giữa hai tia OC,OD)

nên ˆCOD=900COD^=900

Xét ΔCOD có ˆCOD=900COD^=900(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp đường tròn(M,A,B∈(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)

Xét ΔAMB vuông tại M và ΔCOD vuông tại O có

ˆMAB=ˆOCDMAB^=OCD^(cmt)

Do đó: ΔAMB∼ΔCOD(g-g)

⇔AMCO=BMDOAMCO=BMDO(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay AM⋅OD=BM⋅OCAM⋅OD=BM⋅OC(đpcm)

Ta có:

$\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}={180}^o$

$\iff \widehat{O_2}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_3}={180}^o$ (do $\widehat{O_1}=\widehat{O_2},\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$)

$\iff 2\widehat{O_2}+2\widehat{O_3}={180}^o\iff \widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^o\iff \widehat{COD}={90}^o$

b)

Ta có: CM = AC, MD = BD (chứng minh trên)

Lại có: CD = CM + MD = AC + BD (đcpcm)

c)

Ta có: CM = AC, MD = BD (chứng minh trên)

Xét tam giác COD vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

$M{O}^2=MC.MD=AC.BD=R^2$ (do MO = R)

Vì bán kính đường tròn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn nên  không đổi do đó tích AC. BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

1: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

=>CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COM+góc DOM=1/2(góc MOA+góc MOB)

=>góc COD=1/2*góc AOB=90 độ

2: CD=CM+MD

mà CM=CA và MD=DB

nên CD=CA+DB

3: AC*BD=CM*MD

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên CM*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2 không đổi