Ta có: \(\overline{abb}=100a+10b+10b=100a+11b\)

=98a+2a +7b+4b

Vì \(\text{a+2b }⋮7\) nên \(\text{2(a+2b)}⋮7\) hay \(2a+4b⋮7\)

Lại có \(98a⋮7\left(vì98⋮7\right)\)và \(7b⋮7\) nên \(\text{98a+2a +7b+4b }⋮7\) hay \(\overline{abb}⋮7\)

\(\overline{abb}=100a+10b+b\) nhé

\(\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}⋮37\)

\(\Rightarrow1000.a+100.b+10.c⋮37\)

\(\Rightarrow1000a-999.a+100.b+10.c⋮37\)

\(\Rightarrow100.b+10.c+a=\overline{bca}⋮37\)

Thanks

Ta có:

\(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\)

\(\Rightarrow S=\left(100a+10b+c\right)+\left(100b+10c+a\right)+\left(100c+10a+b\right)\)

\(\Rightarrow S=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b\)

\(\Rightarrow S=111a+111b+111c\)

\(\Rightarrow S=111\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow S=37.3\left(a+b+c\right)\)

Giả sử \(S\) là số chính phương thì S phải chứa \(37\) mủ với số chẵn

\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)⋮37\)

\(\Rightarrow a+b+c⋮37\)

Điều này không xảy ra vì \(1\le a+b+c\le27\)

Vậy \(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\) không phải là số chính phương (Đpcm)

S=abc+bca+cab=
(1000a+10b+c) +(1000b+10c+a)+(1000c+10a+b)=
1011*(a+b+c) =3*337*(a+b+c)

Do 3 & 337 là số nguyên tố, để S là số chính phương thì tổng a+b+c phải bằng 3*337 hoặc là (3*337)^(2n+1) (*)

Tuy nhiên do a,b,c<=9 => a+b+c<=27 nên không thể nào thỏa mãn (*)

Vậy không tồn tại số chính phương S

\(S=\overline{abc}+\overline{cba}+\overline{cab}\)

\(=100a+10b+c+100c+10b+a+100c+10a+b\)

\(=111a+111b+111c\)

\(=111\left(a+b+c\right)\)

\(=37.3.\left(a+b+c\right)\)

Giả sử S là số chính phương thì S phải chứa thừa số nguyên tố 37 với số mũ chẵn nên :

\(3\left(a+b+c\right)⋮37\)

\(\Leftrightarrow a+b+c⋮37\)

Mà \(3\le a+b+c\le27\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\in\varnothing\)

Vậy S k là số chính phương

Ta có:

\(\dfrac{\overline{ab}}{b}=\dfrac{\overline{bc}}{c}=\dfrac{\overline{ca}}{a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{10a}{b}+\dfrac{b}{b}=\dfrac{10b}{c}+\dfrac{c}{c}=\dfrac{10c}{a}+\dfrac{a}{a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{10a}{b}+1=\dfrac{10b}{c}+1=\dfrac{10c}{a}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{10a}{b}=\dfrac{10b}{c}=\dfrac{10c}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{10a}{b}=\dfrac{10b}{c}=\dfrac{10c}{a}=\dfrac{10a+10b+10c}{b+c+a}=\dfrac{10\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=10\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}10a=10b\\10b=10c\\10c=10a\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\left(\overline{abc}\right)^{123}=\left(\overline{aaa}\right)^{123}\)(1)

\(\Rightarrow c=111^{123}.a^{40}.a^{41}.a^{42}=111^{123}.a^{123}=\left(111.a\right)^{123}=\left(\overline{aaa}\right)^{123}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left(\overline{abc}\right)^{123}=111^{123}.a^{40}.b^{41}.c^{42}\)