Vì 3 nghiệm phân biệt : \(x_1,x_2,x_3\) lập thàng cấp số cộng, nên ta có thể đặt :

\(x_1=x_0-d,x_2=x_0;x_3=x_0+d\left(d\ne0\right)\). Theo giả thiết ta có :

\(x^3+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)

                                                 \(=\left(x-x_0+d\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_0-d\right)\)

                                                 \(=x^3-3x_0x^2+\left(3x^2_0-d^2\right)x-x^3_0+x_0d^2\) với mọi x

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

\(\begin{cases}-3x_0=3\\3x_0^2-d^2=-\left(24+m\right)\\-x_0^3+x_0d^2=-26-n\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\3-d^2=-24-m\\1-d^2=-26-n\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\m=n\end{cases}\)

Vậy với m = n thì 3 nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng

\(f'\left(x\right)=-mx^2+mx+m-3\)

a/ \(f'\left(x\right)< 0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m< 0\\\Delta=m^2+4m\left(m-3\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\5m^2-12m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< m< \frac{12}{5}\)

b/ \(-mx^2+mx+m-3=0\) có 2 nghiệm pb cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=5m^2-12m>0\\ac=-m\left(m-3\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{12}{5}< m< 3\)

c/ \(-mx^2+mx+m-3=0\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=1\)

Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

1.

Do 3 nghiệm lập thành cấp số cộng \(\Rightarrow2x_2=x_1+x_3\)

Mà \(x_1+x_2+x_3=3m\)

\(\Rightarrow3x_2=3m\Rightarrow x_2=m\)

Thay lại pt ban đầu:

\(m^3-3m^3+2m\left(m-4\right)m+9m^2-m=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=0\Rightarrow x^3=0\Rightarrow\) pt có đúng 1 nghiệm (ktm)

- Với \(m=1\Rightarrow x^3-3x^2-6x+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\\x=4\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=1\)

Chọn đáp án D

Phương pháp

Cho ba số a, b, c lập thành CSN thì ta có: b 2 = a c .

Cách giải

Ta có:  ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - m ) = 0

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

+) Giả sử 1; 3; m lập thành 1 CSN tăng

+) Giả sử m; 1; 3 lập thành 1 CSN tăng

+) Giả sử 1; m; 3 lập thành 1 CSN tăng

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là : \(x_1;x_2;x_3;x_4\)

Đặt \(x^2=y\ge0\), ta có phương trình :

\(\Leftrightarrow y^2-\left(3m+5\right)y+\left(m+1\right)^2=0\left(1\right)\)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt \(0 < y1 < y2\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm là : \(x_1=-\sqrt{y_2};x_2=-\sqrt{y_1};x_3=-\sqrt{y_1};x_4=-\sqrt{y_2}\)

Rõ ràng \(x2 < x2 < x3 < x4\)

Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng, nên :

\(\Rightarrow x_3+x_1=2x_2\) V \(x_4+x_1=2x_3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}=2\sqrt{y_1}\)

\(\Rightarrow3\sqrt{y_1}=\sqrt{y_2}\)

\(\Leftrightarrow9y_1=y_2\) (*)

Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có hệ :

\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+5\right)^2-4\left(m+1\right)^2>0\\S=y_1+y_2=10y_1=3m+5\\P=y_1y_2=9y_1^2=\left(m+1\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=5\\m=-\frac{25}{19}\end{cases}\)