a, x 2 − 2 ( m + 1 ) x + m 2 + m − 1 = 0 (1)

Với m = 0, phương trình (1) trở thành:

  x 2 − 2 x − 1 = 0 Δ ' = 2  ;  x 1 , 2 = 1 ± 2

Vậy với m = 2 thì nghiệm của phương trình (1) là  x 1 , 2 = 1 ± 2

b) Δ ' = m + 2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ⇔ m > − 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  x 1 + x 2 = 2 ( m + 1 ) x 1 x 2 = m 2 + m − 1

Do đó:

     1 x 1 + 1 x 2 = 4 ⇔ x 1 + x 2 x 1 x 2 = 4 ⇔ 2 ( m + 1 ) m 2 + m − 1 = 4 ⇔ m 2 + m − 1 ≠ 0 m + 1 = 2 ( m 2 + m − 1 ) ⇔ m 2 + m − 1 ≠ 0 2 m 2 + m − 3 = 0 ⇔ m = 1 m = − 3 2

Kết hợp với điều kiện  ⇒ m ∈ 1 ; − 3 2  là các giá trị cần tìm.

a) Khi \(m=1\) thì pt đã cho trở thành \(x^2-2x-10=0\) (*)

pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-10\right)=11>0\) 

Do đó (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{11}}{1}=1+\sqrt{11}\\x_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{11}}{1}=1-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

b) Xét pt đã cho \(x^2-mx-10=0\) \(\left(a=1;b=-m;c=-10\right)\)

Nhận thấy \(ac=1\left(-10\right)=-10< 0\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{-m}{1}=m\\x_1x_2=\dfrac{-10}{1}=-10\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=29\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=29\Leftrightarrow m^2-2\left(-10\right)=29\)\(\Leftrightarrow m^2+20=29\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm3\)

Vậy để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn đề bài thì \(m=\pm3\)

a) Thay m=0 vào phương trình (1), ta được:

\(x^2-2\cdot\left(0-1\right)x+0^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=0 thì S={0;-2}

câu b á

a, Cách 1. Đặt  1 y + 1 = u  ta được  3 x - 2 u = 1 5 x + 2 u = 3

Giải ra ta được x = 1 2 ; u = 1 4

Từ đó tìm được y = 3

Cách 2. Cộng vế với vế hai phương trình, ta được 8x = 4

Từ đó tìm được x = 1 2 và y = 3

b, Vì x₁x₂ = -m² - 1 < 0 "m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và trái dấu.

Cách 1. Giả sử   x 1 < 0 <  x 2

Từ giả thiết thu được –  x 1 + x 2 =  2 2

Biến đổi thành  x 1 + x 2 2 - 4 x 1 x 2 = 8

Áp dụng định lý Vi-ét, tìm được m = 1 hoặc m =  - 3 5

Cách 2. Bình phương hai vế của giả thiết và biến đổi về dạng

x 1 + x 2 2 - 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 2 = 8

=>  m - 1 2 + 4 m 2 + 1 = 8

Do  x 1 x 2 = - x 1 x 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta cũng tìm được m = 1 hoặc m =  - 3 5

a:Sửa đề: x^2-(m+1)x+2m-8=0

Khi m=2 thì (1) sẽ là x^2-3x-4=0

=>(x-4)(x+1)=0

=>x=4 hoặc x=-1

b: Δ=(-m-1)^2-4(2m-8)

=m^2+2m+1-8m+32

=m^2-6m+33

=(m-3)^2+24>=24>0

=>(1) luôn có hai nghiệm pb

\(x_1^2+x_2^2+\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)=11\)

=>(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=11

=>(m+1)^2-(2m-8)-2(m+1)+4=11

=>m^2+2m+1-2m+8-2m-2+4=11

=>m^2-2m=0

=>m=0 hoặc m=2

a) Với m = - 1

\(Pt:x^2+2x-8=0\)

\(\Delta'=b'^2-ac=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-1+3}{1}=2\)

\(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-1-3}{1}=-4\)

b)  \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=16\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=16\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}}=16\Leftrightarrow\frac{-b}{c}=16\)

\(\Leftrightarrow\frac{2m}{m-7}=16\Leftrightarrow2m=16m-112\)

\(\Leftrightarrow14m=112\Leftrightarrow m=8\)

a, Thay m=3 vào pt ta có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-6x+4=0\\ \Leftrightarrow x=3\pm\sqrt{5}\)

b, Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(-m\right)^2-1.4\ge0\\ \Leftrightarrow m^2-4\ge0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2\\ \Leftrightarrow x^2_1+2x_1+1+x^2_2+2x_2+1=2\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2.4+2.2m=0\\ \Leftrightarrow4m^2+4m-8=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(ktm\right)\\m=-2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

a, Với m= 2, ta có 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇔ x = 1                                              

b) Phương trình (1) có hai nghiệm  x 1 , x 2  khi và chỉ khi  Δ ' ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2

Theo Vi-et , ta có:  x 1 + x 2 = m          1 x 1 . x 2 = m 2 − 2 2    2

Theo đề bài ta có:  A = 2 x 1 x 2 − x 1 − x 2 − 4 = m 2 − 2 − m − 4 = m − 3 m + 2

Do  − 2 ≤ m ≤ 2  nên  m + 2 ≥ 0 ,  m − 3 ≤ 0 . Suy ra  A = m + 2 − m + 3 = − m 2 + m + 6 = − m − 1 2 2 + 25 4 ≤ 25 4

Vậy  MaxA = 25 4  khi  m = 1 2 .