Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\)

<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)

<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)

Vì (2m+3)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.

Theo viét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đề:

\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))

=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)

=> \(M\ge2\).

Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:

\(x^2-5x+1=0\)

Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.

Vậy min M = 2 và m = 0

☕T.Lam

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(P=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\ge0\)

\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow m=-1\)

Đề là yêu cầu tìm max hay min nhỉ? Min thế này thì có vẻ là quá dễ

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\). 

Theo định lí Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)

\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)

\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\). 

\(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.\left(-2\right)\)

   \(=4m^2-8m+8+8\)

   \(=4m^2-8m+16\)

   \(=3m^2+\left(m-4\right)^2\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

                                                  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>4\end{matrix}\right.\) \(\rightarrow m>4\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\left(1\right)\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+4x_2^2\)

\(A=x_1^2+\left(2x_2\right)^2\)

\(\Rightarrow Min_A=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=0\\x_2=0\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) ta được: \(0=2m-2\)

                                \(\Leftrightarrow m=1\)

\(\Delta=4m^2-4m+1-4\left(2m-2\right)=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\)

Do đó pt luôn có nghiệm

Theo định lí Vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(A=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)           

\(A=4m^2-4m+1-4m+4\)

\(A=4m^2-8m+5\)

\(A=4\left(m-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) m=1

Tick hộ nha 😘

pt có nghiệm \(< =>\Delta\ge0\)

\(< =>[-\left(2m-1\right)]^2-4\left(2m-2\right)\ge0\)

\(< =>4m^2-4m+1-8m+8\ge0\)

\(< =>4m^2-12m+9\ge0\)

\(< =>4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)\ge0\)

\(=>m^2-2.\dfrac{3}{2}m+\dfrac{9}{4}\ge0< =>\left(m-\dfrac{2}{3}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=>pt luôn có 2 nghiệm 

theo vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-1\\x1x2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(x1+x2\right)^2-2x1x2=\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-2\right)\)

\(A=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2+5\ge5\)

dấu"=" xảy ra<=>m=0

Phương trình có : \(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2+8>0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Vi-ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài : \(\left(1-\dfrac{2}{x_1+1}\right)^2+\left(1-\dfrac{2}{x_2+1}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1-1\right)^2}{\left(x_1+1\right)^2}+\dfrac{\left(x_2-1\right)^2}{\left(x_2+1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2}{\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2-2\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2+1\right)^2\left[\left(x_1-1\right)^2-\left(x_1+1\right)^2\right]+\left(x_1+1\right)^2\left[\left(x_2-1\right)^2-\left(x_2+1\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow-4x_1\left(x_2+1\right)^2-4x_2\left(x_1+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2^2+2x_1x_2+x_1+x_1^2x_2+2x_1x_2+x_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow-2\left(m+1\right)+4\cdot\left(-2\right)+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m=-9\)

Vậy : \(m=-9.\)

1.Thế `m=2` vào pt, ta được:

\(x^2-2\left(2-1\right)x+2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )

2.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

\(P=\left|x_1-x_2\right|\)

\(\Leftrightarrow P^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow P^2=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m-5\right)\)

\(\Leftrightarrow P^2=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)\)

\(\Leftrightarrow P^2=4m^2-8m+4-4m+20\)

\(\Leftrightarrow P^2=4m^2-12m+24\)

\(\Leftrightarrow P^2=\left(2m-3\right)^2+15\)

\(P^2\ge15\)

mà \(P\ge0\)

\(\Rightarrow Min_P=\sqrt{15}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2m-3=0\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(Min_P=\sqrt{15}\) khi \(m=\dfrac{3}{2}\)

\(x^2-2(m-1)x+m-5=0\ \ (1) \\1)Thay\ m=2\ vào\ (1)\ ta\ có: \\x^2-2(2-1)x+2-5=0 \\<=>x^2-2x-3=0<=>(x+1)(x-3)=0<=>x=-1\ hoặc\ x=3 \\2)\triangle'=[-(m-1)]^2-1.(m-5)=m^2-3m+6>0\ với\ mọi\ m \\->Phương\ trình\ (1)\ luôn\ có\ 2\ nghiệm\ phân\ biệt\ với\ mọi\ m. \\Theo\ hệ\ thức\ Vi-ét\ ta\ có: \\x_1+x_2=2(m-1);x_1x_2=m-5 \)

\(Ta\ có: P^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \\=[2(m-1)]^2-4(m-5)=4(m-\dfrac{3}{2})^2+15\ge15 \\->P\ge\sqrt{15} \\Đẳng\ thức\ xảy\ ra\ khi\ m=\dfrac{3}{2}. \\Vậy\ P\ nhỏ\ nhất\ bằng\ \sqrt{15}\ (khi\ m=\dfrac{3}{2}).\)

a. Bạn tự giải

b.

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=\left(m-2\right)^2\ge0\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm pb khi \(m\ne2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Do \(x_2\) là nghiệm của pt \(\Rightarrow x_2^2-\left(m+2\right)x_2+2m=0\Rightarrow x_2^2=\left(m+2\right)x_2-2m\)

Thế vào bài toán:

\(\left(m+2\right)x_1+\left(m+2\right)x_2-2m\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(x_1+x_2\right)-2m\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m\le3\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow m=-1\)

\(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2+8m-9=0\left(1\right)\)

Ta giải \(\Delta=[-2\left(m+4\right)]^2-4\left(m^2+8m-9\right)=100>0\forall m\)

suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\forall m\).

Ta có: \(x_1=m-1\), \(x_2=m+1\) (thay \(\Delta\) vào công thức tìm nghiệm phân biệt).

Gọi \(A=\dfrac{x_1^2+x_2^2-48}{x_1^2+x_2^2}\).

\(\Rightarrow A=1-\dfrac{48}{x_1^2+x_2^2}=1-\dfrac{48}{\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2}=1-\dfrac{24}{m^2+1}\).

Để biểu thức A nguyên thì \(\dfrac{24}{m^2+1}\) nguyên, suy ra \(m^2+1\inƯ\left(24\right)\).

\(\Rightarrow m^2+1\in\left\{1;2;4;6;8;12;24\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1\right\}\) (vì m nhận giá trị nguyên)

Vậy \(m\in\left\{0;\pm1\right\}\) là giá trị cần tìm.

Mình chỉnh sửa lại một chút nhé.

\(A=1-\dfrac{24}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow...\)\(\Rightarrow\)\(m^2+2\in\left\{1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

Vậy...