Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}m\ne0\\\Delta\ge0\end{cases}}\)

Xét \(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=\left(m-2\right)^2\ge0\)

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x_1;x_2\)với mọi m khác 0

Theo hệ thức Viet , ta có : \(x_1+x_2=\frac{m+2}{m}\left(1\right);x_1x_2=\frac{2}{m}\)(2)

Ta có \(P=\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)

\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-2\)(3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(P=\frac{m^2+m+2}{m}\)với m khác 0

max P = \(\frac{1}{8}\)=> m=8

Đây là định lí Vi-et học trong chương trình Toán 9.

Ta có : \(\left(3x-2\right)\left(\frac{2\left(x+3\right)}{7}-\frac{4x-3}{5}\right)=0\)

=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{10\left(x+3\right)}{35}-\frac{7\left(4x-3\right)}{35}\right)=0\)

=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{10\left(x+3\right)-7\left(4x-3\right)}{35}\right)=0\)

=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{10x+30-28x+21}{35}\right)=0\)

=> \(\left(3x-2\right)\left(\frac{51-18x}{35}\right)=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\\frac{51-18x}{35}=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\51-18x=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}3x=2\\18x=51\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2}{3}\\x=\frac{51}{18}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{\frac{2}{3},\frac{51}{18}\right\}\)

- Vậy tích 2 nghiệm x₁, x₂ của phương trình là : \(\frac{2}{3}.\frac{51}{18}=\frac{17}{9}\)

1) \(a=1,b^,=\frac{-2\left(m-1\right)}{2},c=m^2-3m.\)

\(\Delta^'=b^2-ac\Leftrightarrow\Delta^'=\left(-\left(m-1\right)\right)^2-\left(m^2-3m\right)\)

\(=m^2-2m+1-m^2+3m=m+1\)

vậy để pt có nghiệm thì  \(\Delta^'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

2)  

a) \(A^2=\left(|x1+x2|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|\)

     \(A^2=\left(x_1+x_2\right)^2+2|x1x2|-2x_1x_2\)

ap dụng vi ét ta có 

         \(A^2=4\left(m-1\right)^2+2|m^2-3m|-2\left(m^2-3m\right)\)

         \(A^2=4m^2-8m+1-2m^2+6m+2|m^2-3m|\)

          \(A^2=2m^2-2m+1+2|m^2-3m|\)

           \(A=\sqrt{2m^2-2m+1+2|m^2-3m|}\) \(dk;;m\ge-1\)

B) \(\text{|}x_1-x_2\text{|}=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\) " phá căn bậc thì cũng phải phá trị tuyệt đối " " tự chức minh "

  \(B=\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2}\)   

\(x^2_1+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

ap dụng vi ét ta có  \(4\left(m-1\right)^2-2m^2+6m=4m^2-8m+4-2m^2+6m=2m^2-2m+4\)

\(-2x_1x_2=-2m^2+6m\)

\(B=\sqrt{2m^2-2m+4-2m^2+6m}=\sqrt{4m+4}=2\sqrt{m+1}\)

             "dk m >= -1"