Đặt \(x^2=t\) \(\Rightarrow t^2+\left(1-m\right)t+2m-2=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(1-m\right)^2-8\left(m-1\right)>0\\t_1+t_2=m-1>0\\t_1t_2=2m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>9\)

Khi đó, do vai trò của \(x_1;x_2;x_3;x_4\) như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_1=-\sqrt{t_1};x_2=\sqrt{t_1}\) ; \(x_3=-\sqrt{t_2};x_4=\sqrt{t_2}\)

\(\Rightarrow x_1x_2x_3x_4=t_1t_2\) ; \(x_1^2=x_2^2=t_1\) ; \(x_3^2=x_4^2=t_2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_4^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_3^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_2^2}+\dfrac{x_1x_2x_3x_4}{2x_1^2}=2017\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{t_1t_2}{2t_2}+\dfrac{t_1t_2}{2t_2}+\dfrac{t_1t_2}{2t_1}+\dfrac{t_1t_2}{2t_1}=2017\)

\(\Leftrightarrow t_1+t_2=2017\)

\(\Leftrightarrow m-1=2017\Rightarrow m=2018\)

Câu a:

Đặt \(x^2=t\left(t>0\right)\)phương trinh \(x^4+\left(1-m\right)x^2+2m-2=0\left(1\right)\)trở thành \(t^2+\left(1-m\right)t+2m+2=0\left(2\right)\)

         Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt tức

         \(\Delta>0\Leftrightarrow\left(1-m\right)^2-4\left(2m-2\right)>0\)

         \(m^2-10m+9>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-9\right)>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>9\\m< 1\end{cases}}\)

Câu b:

phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(t_1,t_2\)tương ứng phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\)thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}t_1=-x_1=x_3\\t_2=-x_2=x_4\end{cases}}\)(theo tính chất đối xứng nghiệm của hàm trùng phương bậc 4)

theo viet ta có :\(\hept{\begin{cases}t_1+t_2=1-m\\t_1t_2=2m-2\end{cases}}\)

Xét \(\frac{x_1x_2x_3}{2x_4}+\frac{x_1x_2x_4}{2x_3}+\frac{x_1x_3x_4}{2x_2}+\frac{x_2x_3x_4}{2x_1}=2013\)

\(VT=\frac{\left(x_1x_2x_3\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_1x_2x_4\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_1x_3x_4\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_4x_2x_3\right)^2}{2x_1x_2x_3x_4}\)

\(=\frac{\left(x_1x_2\right)^2\left(x^2_3+x^2_4\right)}{2x_1x_2x_3x_4}+\frac{\left(x_4x_3\right)^2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{2x_1x_2x_3x_4}\)

thay biến x bằng biến t ta có

\(VT=\frac{\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}+\frac{\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}=\frac{2\left(t_1t_2\right)^2\left(t_1^2+t^2_2\right)}{2t_1t_2}\)

\(=\left(t_1t_2\right)\left(t_1^2+t^2_2\right)=\left(t_1^2+t^2_2-2t_1t_2\right)t_1t_2\)

thế m theo viet vào ta có :

\(\left(2m-2\right)\left(\left(1-m\right)^2-2\left(2m-2\right)\right)=2013\)

\(\Leftrightarrow2m^3-8m^2+17m-2023=0\)

Đến đây giải dễ rùi bạn gải nốt tìm m nhé

PT

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1+4\right)\left(x^2+4x-1-4\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1\right)^2-16=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1\right)^2=m+16\) \(\left(DK:m\ge-16\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+4x-1=\sqrt{m+16}\left(1\right)\\x^2+4x-1=-\sqrt{m+16}\left(2\right)\end{cases}}\)

PT(1)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-1-\sqrt{m+16}=0\)

Ta co:

\(\Delta^`=2^2-1.\left(-1-\sqrt{m+16}\right)=5+\sqrt{m+16}>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=-2+\sqrt{5+\sqrt{m+16}}\\x_2=-2-\sqrt{5+\sqrt{m+16}}\end{cases}}\)

PT(2)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-1+\sqrt{m+16}=0\)

Ta lai co:

\(\Delta^`=2^2-1.\left(-1+\sqrt{m+16}\right)=5-\sqrt{m+16}\)

De PT co 4 nghiem phan biet thi PT(1) va PT(2) co 2 nghiem phan bet

Suy ra PT(2) co 2 nghiem phan biet khi 

\(5-\sqrt{m+16}>0\)

\(\Leftrightarrow m< 9\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_3=-2+\sqrt{5-\sqrt{m+16}}\\x_4=-2-\sqrt{5-\sqrt{m+16}}\end{cases}}\)

Ta lai co:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_4+x_5}{x_4x_5}=\frac{4}{1+\sqrt{m+16}}+\frac{4}{1-\sqrt{m+16}}\text{ }=-\frac{8}{15+m}\)\(\left(DK:m\ne-15\right)\)

Ma \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{8}{m+15}=-1\)

\(\Leftrightarrow m=-7\)

Vay de PT \(\left(x^2-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\)co 4 gnhiem phan biet thoa man 

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)thi m=-7

a)Đặt \(t=x^2\) ta có: \(Pt\Leftrightarrow t^2+\left(1-m\right)t+2m-2=0\)

\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4\left(2m-2\right)=1-2m+m^2-8m+8\\ =\left(m-1\right)\left(m-9\right)\)

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\) tức là \(\left(m-1\right)\left(m-9\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\m>9\end{matrix}\right.\)

và \(t_1,t_2>0\)

Giả sử \(t_1>t_2>0\)

\(\Rightarrow m-1>\sqrt{\left(m-1\right)\left(m-9\right)}\Leftrightarrow m^2-2m+1>m^2-10m+9\\ \Leftrightarrow8m-8>0\Leftrightarrow m>1\)Vậy để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(m>9\)

b)Giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\sqrt{t_1}\\x_2=-\sqrt{t_1}\\x_3=\sqrt{t_2}\\x_4=-\sqrt{t_2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{x_1x_2x_3}{2x_4}=\dfrac{\sqrt{t_1}\left(-\sqrt{t_1}\right)\sqrt{t_2}}{-2\sqrt{t_2}}=\dfrac{t_1}{2}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{x_1x_2x_4}{2x_3}=\dfrac{t_1}{2};\dfrac{x_1x_3x_4}{2x_2}=\dfrac{t_2}{2};\dfrac{x_2x_3x_4}{2x_1}=\dfrac{t_2}{2}\)

\(\Rightarrow t_1+t_2=2013\Leftrightarrow m-1=2013\Leftrightarrow m=2014\left(TM\right)\)

a) Nếu m = -1 thì : \(4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\) => pt có một nghiệm

Nếu \(m\ne-1\) , xét \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-2\right)=m^2-2m+1-\left(m^2-m-2\right)=-m+3\)

Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\) , tức là \(3-m>0\Leftrightarrow m< 3\)

Vậy để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\begin{cases}m< 3\\m\ne-1\end{cases}\)

b) Thay x = 2 vào pt đã cho  , tìm được m = -6

Suy ra pt : \(-5x^2+14x-8=0\Leftrightarrow\left(5x-4\right)\left(x-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)

Vậy nghiệm còn lại là x = 4/5

c) Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m-2\end{cases}\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}\Leftrightarrow4\left(x_1+x_2\right)=7x_1.x_2\)

\(\Rightarrow4.\left(2m-2\right)=7.\left(m-2\right)\Leftrightarrow8m-8=7m-14\Leftrightarrow m=-6\)

d) Ta có : \(A=2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1.x_2=2\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1.x_2=8\left(m-1\right)^2-3\left(m-2\right)\)

\(=8m^2-19m+14=8\left(m-\frac{19}{16}\right)^2+\frac{87}{32}\ge\frac{87}{32}\)

=> Min A = 87/32 <=> m = 19/16

Phương trình tương đương:

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)\left(a-5\right)-m=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a-15-m=0\) (1) với \(a=x^2+4x\)

Để phương trình ẩn x có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần của phương trình ẩn a là phải có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Delta'_{\left(1\right)}=1+15+m=16+m>0\) \(\Rightarrow m>-16\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{16+m}\\a=2-\sqrt{16+m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-2-\sqrt{16+m}=0\left(2\right)\\x^2+4x-2+\sqrt{16+m}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, (3) có 2 nghiệm phân biệt khi \(m< 0\). (Xét denta)

Nghiệm của chúng lần lượt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2+\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\end{matrix}\right.\). 4 nghiệm này luôn phân biệt với \(-16< m< 0\)

Lần lượt thay nghiệm vào điều kiện:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

Ta được phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm nổi m :V

a)

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

\(=\left(-2m-4\right)^2-4\left(m-3\right)\)

\(=4m^2+16m+16\ge0\forall x\)

Suy ra: Phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Viet, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1\cdot x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4\cdot x_1x_2+2\cdot\left(x_1+x_2\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)+2\left(2m+4\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4m-12+4m+8+1=8\)

\(\Leftrightarrow8m=8+12-8-1\)

\(\Leftrightarrow8m=11\)

hay \(m=\dfrac{11}{8}\)

Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh 

b) 

Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(\Rightarrow P=4m^2+11m+31=4m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{11}{2}+\dfrac{121}{4}+\dfrac{3}{4}\) \(=\left(2m+\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

  Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow2m+\dfrac{11}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}\)

  Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=-\dfrac{11}{4}\)